北海道大学 2004年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$a$ を1以上の実数， $b$ を正の実数とする．

(1) 0以上のすべての実数 $x$ について，不等式 $e^{x} - a (x + 2 b) ≧ 0$ が成り立つための， $a$ ， $b$ の満たすべき条件を求めよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(2) $a$ ， $b$ が(1)で求めた範囲を動くとき，定積分 $\frac{1}{a e ^{b}} \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 2 b} d x$ の値を最小にする $a$ ， $b$ と，その最小値を求めよ．

出典：北海道大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

(1) は $e^{x} ≧ a (x + 2 b)$ を $a ≦ e^{x} / (x + 2 b)$ と見て、右辺の $x ≧ 0$ における最小値を調べる。 $b < 1/2$ 、 $b = 1/2$ 、 $b > 1/2$ で最小点が変わり、さらに $a ≧ 1$ との両立条件を確認する。(2) は積分値を $a, b$ で明示し、固定した $b$ では $a$ が最大のときに最小になることを使う。残った $b$ の関数は微分し、 $lo g (1 + u) < u$ 型の基本不等式で単調減少を示して、端点 $b = 1/2$ を選ぶ。

解答

(1)

求める条件は、すべての $x ≧ 0$ について $e^{x} - a (x + 2 b) ≧ 0$ が成り立つことである。 $b > 0$ なので $x + 2 b > 0$ であり、これは $a ≦ \frac{e ^{x}}{x + 2 b} (x ≧ 0)$ と同値である。そこで $ϕ (x) = \frac{e ^{x}}{x + 2 b}$ とおく。微分すると $ϕ^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x + 2 b ) - e ^{x}}{( x + 2 b ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x + 2 b - 1 )}{( x + 2 b ) ^{2}}$ である。 $0 < b < 1/2$ のとき、 $x = 1 - 2 b$ は正であり、 $ϕ (x)$ は $0 ≦ x < 1 - 2 b$ で減少し、 $x > 1 - 2 b$ で増加する。したがって最小値は $ϕ (1 - 2 b) = \frac{e ^{1 - 2 b}}{1} = e^{1 - 2 b}$ である。この場合の条件は $1 ≦ a ≦ e^{1 - 2 b}$ である。 $b = 1/2$ のとき、 $ϕ^{'} (x) ≧ 0$ で、最小値は $x = 0$ における $ϕ (0) = 1$ である。したがって $a ≧ 1$ と合わせて $a = 1$ である。 $b > 1/2$ のとき、 $x + 2 b - 1 > 0$ が $x ≧ 0$ で成り立つので、 $ϕ (x)$ は $x ≧ 0$ で増加する。最小値は $ϕ (0) = \frac{1}{2 b} < 1$ である。しかし $a ≧ 1$ なので、 $a ≦ 1/ (2 b)$ とは両立しない。

以上より、求める条件は $0 < b ≦ \frac{1}{2}, 1 ≦ a ≦ e^{1 - 2 b}$ である。

(2)

まず積分を計算する。

\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 2 b} d x = [lo g (x + 2 b)]_{0}^{1} = lo g \frac{1 + 2 b}{2 b}

である。したがって考える値は $\frac{1}{a e ^{b}} lo g \frac{1 + 2 b}{2 b}$ である。

固定した $b$ に対して、 $lo g \frac{1 + 2 b}{2 b} > 0$ であり、値は $a$ が大きいほど小さくなる。(1) より $a$ の最大値は $a = e^{1 - 2 b}$ である。したがって、最小化すべき1変数関数は $H (b) = e^{b - 1} lo g \frac{1 + 2 b}{2 b} (0 < b ≦ \frac{1}{2})$ である。

微分すると $H^{'} (b) = e^{b - 1} {lo g \frac{1 + 2 b}{2 b} - \frac{1}{b ( 1 + 2 b )}}$ である。ここで $lo g \frac{1 + 2 b}{2 b} = lo g (1 + \frac{1}{2 b}) < \frac{1}{2 b}$ である。また $0 < b ≦ 1/2$ より $\frac{1}{2 b} ≦ \frac{1}{b ( 1 + 2 b )}$ である。したがって $lo g \frac{1 + 2 b}{2 b} < \frac{1}{b ( 1 + 2 b )}$ となり、 $H^{'} (b) < 0$ である。

よって $H (b)$ は $0 < b ≦ 1/2$ で減少する。したがって最小となるのは $b = \frac{1}{2}$ のときである。このとき $a = e^{1 - 2 b} = 1$ であり、最小値は $\frac{1}{1 \cdot e ^{1/2}} lo g \frac{2}{1} = \frac{l o g 2}{e}$ である。

別解。(2) の最後の単調性は、 $H^{'} (b) < 0$ を示す代わりに、 $b$ が大きいほど $e^{b - 1}$ は増える一方で $lo g \frac{1 + 2 b}{2 b}$ は減るため、単純な大小比較だけでは不十分である。したがって、試験答案では上のように微分して $lo g (1 + u) < u$ を使うのが最も安全である。

北海道大学 2004年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2004年度
理系数学前期第3問