北海道大学 2004年度
理系数学 前期 第1問

解答

(1)

$\lambda =\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ とおく。すると漸化式は $z_{n+1}=\lambda z_n+1$ である。$z_1=1$ より $z_2=\lambda +1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。また

である。ここで $\lambda +{\lambda }^2=i\sqrt{3}$ だから $z_3=1+i\sqrt{3}$ である。

(2)

$z_{n+1}-\alpha =\lambda (z_n-\alpha )$ と表せるとすると、$z_{n+1}=\lambda z_n+(1-\lambda )\alpha$ である。もとの漸化式 $z_{n+1}=\lambda z_n+1$ と比べると、$(1-\lambda )\alpha =1$ である。したがって $\alpha =\frac{1}{1-\lambda }$ である。実際に $1-\lambda =1-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ なので、$\alpha =\frac{1}{(1-i\sqrt{3})/2}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ である。よって $\alpha =\lambda$ である。

(3)

(2) より $z_{n+1}-\lambda =\lambda (z_n-\lambda )$ である。したがって $z_n-\lambda ={\lambda }^{n-1}(z_1-\lambda )$ である。ここで $z_1-\lambda =1-\lambda =\frac{1-i\sqrt{3}}{2}={\lambda }^{-1}$ だから、$z_n-\lambda ={\lambda }^{n-1}{\lambda }^{-1}={\lambda }^{n-2}$ である。よって $z_n=\lambda +{\lambda }^{n-2}$ であり、すなわち $z_n=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}+{\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^{n-2}$ である。

(4)

求める条件は $z_n=-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ である。右辺は $-{\lambda }^{-1}$ であるから、(3) の式を用いると $\lambda +{\lambda }^{n-2}=-{\lambda }^{-1}$ である。したがって ${\lambda }^{n-2}=-(\lambda +{\lambda }^{-1})$ である。$\lambda =e^{i\pi /3}$ なので $\lambda +{\lambda }^{-1}=2\cos \frac{\pi }{3}=1$ である。よって ${\lambda }^{n-2}=-1$ である。 $\lambda$ は偏角 $\pi /3$ の複素数なので ${\lambda }^3=-1,{\lambda }^6=1$ である。したがって $n-2\equiv 3(\mathrm{mod}6)$ であり、$n\equiv 5(\mathrm{mod}6)$ である。求める自然数は $n=6m+5(m=0,1,2,\dots )$ である。

別解。漸化式は、点 $\lambda$ を中心として偏角 $\pi /3$ だけ回転する操作と見られる。実際、$z_n-\lambda$ が毎回 $\lambda$ 倍されるので、$z_n$ は中心 $\lambda$、半径 $1$ の円周上を6周期で動く。この幾何的な見方からも、目標点に到達するのは初期位置から3回分回転したとき、すなわち $n-2\equiv 3(\mathrm{mod}6)$ のときである。