北海道大学 2004年度
理系数学 前期 第2問

解答

まず成分計算を行う。

であるから、

である。したがって $XA-AX=kA$ は

と同値である。

(1)

$k=0$ とする。このとき (1),(2),(3) は $cy=bz,bx=ay,az=cx$ である。$bc\ne 0$ より、$b\ne 0$、$c\ne 0$ である。 $y=tb$ とおくと、$cy=bz$ より $z=tc$ である。また $bx=ay$ より $bx=a(tb)$ なので $x=ta$ である。したがって

となる。よって、$(\ast )$ を満たす $X$ は $A$ の実数倍である。

(2)

まず $k\ne 0$ とし、$(\ast )$ を満たす $X$ が存在すると仮定する。(1) に $a$ を掛けた式、(2) に $c/2$ を掛けた式、(3) に $b/2$ を掛けた式を加えると、左辺は $a(-bz+cy)+\frac{c}{2}(-2ay+2bx)+\frac{b}{2}(2az-2cx)=0$ である。一方、右辺は $ka+\frac{c}{2}kb+\frac{b}{2}kc=k(a^2+bc)$ である。したがって $0=k(a^2+bc)$ である。$k\ne 0$ だから $a^2+bc=0$ を得る。

一方、

である。したがって $a^2+bc=0$ は $A^2=O$ と同値である。これで必要性が示された。

逆に $A^2=O$ とする。このとき $a^2+bc=0$ である。$bc\ne 0$ なので、ここから $a\ne 0$ も分かる。条件 $z=c$ を満たす解を求める。(3) に $z=c$ を代入すると $2ac-2cx=kc$ であり、$c\ne 0$ より $2a-2x=k$ である。したがって $x=a-\frac{k}{2}$ である。

次に (2) に代入すると $-2ay+2b\left(a-\frac{k}{2}\right)=kb$ である。これを整理して $-2ay=2b(k-a)$ だから $y=\frac{b(a-k)}{a}$ である。$a^2+bc=0$ より $b/a=-a/c$ なので、$y=\frac{a(k-a)}{c}$ とも書ける。

以上より、$z=c$ である解は

である。最後に (1) を確認すると、$z=c$、上の $x,y$、および $a^2+bc=0$ を用いて確かに $-bz+cy=ka$ が成り立つ。したがって十分性も示された。