問題
，，の3人がつぎのように勝負をくり返す．1回目にはとの間で硬貨投げにより勝敗を決める．2回目以降には，直前の回の勝者と参加しなかった残りの1人との間で，やはり硬貨投げにより勝敗を決める．この勝負をくり返し，誰かが2連勝するか，または，100回目の勝負を終えたとき，終了する．ただし，硬貨投げで勝つ確率は各々である．
(1) 4回以内の勝負でが2連勝する確率を求めよ．
(2) とする．回以内の勝負で，，，のうち誰かが2連勝する確率を求めよ．
出典：北海道大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
勝者列で考える。(1)は4回以内に が2連勝する列を、途中終了の条件に注意して列挙する。(2)は誰も2連勝しない余事象を使う。2回目以降で直前の勝者が毎回負ければ2連勝は起こらず、その確率は になる。
解答
(1)
4回以内に が2連勝する場合を勝者列で数える。
まず、1回目と2回目に が連続して勝つ場合がある。この勝者列は であり、確率は である。
次に、4回目で が2連勝して終了する場合を考える。途中で誰かが2連勝してはいけないので、勝者列は に限られる。これの確率は である。
以上は互いに重ならない。したがって求める確率は である。
(2)
回以内に誰も2連勝しない場合を考える。1回目の勝者は誰でもよい。2回目以降は、直前の勝者が勝てばその時点で2連勝になるので、直前の勝者が毎回負けなければならない。
各回で直前の勝者が負ける確率は である。したがって、2回目から 回目まで連続してこのことが起こる確率は である。
よって余事象を用いると、 回以内に誰かが2連勝する確率は である。これは のすべてで成り立つ。