北海道大学 2001年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ とおく．ただし， $i$ は虚数単位である．

(1) 実数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ に対して $a + bω = c + d ω$ が成り立つとき， $a = c$ かつ $b = d$ であることを示せ．

(2) 実数 $x$ ， $y$ に対して，実数 $s$ ， $t$ を $s + t ω = ω (x + y ω)$ によって定めるとき， $(s t) = A (x y)$ となる2次の正方行列 $A$ を求めよ．

(3) $n = 1, 2, 3, \dots$ のとき，上の $A$ に対して $A^{2} + E^{3 n}$ を求めよ．ただし， $E$ は単位行列である．

出典：北海道大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

(1)は $1$ と $ω$ の実係数表示の一意性を虚部・実部比較で示す。(2)は $ω^{2} = - 1 - ω$ を使って、 $ω (x + y ω)$ を $1, ω$ の係数に戻す。(3)は行列 $A$ を「 $ω$ 倍する操作」と見て、 $A^{2} + E$ が「 $- ω$ 倍する操作」であることから冪を求める。直接行列計算でも確認できる。

解答

(1)

$ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ である。 $a + bω = c + d ω$ とすると $(a - c) + (b - d) ω = 0$ である。虚部を比べると $(b - d) \frac{3}{2} = 0$ だから $b = d$ である。これをもとの式に戻すと $a = c$ である。したがって $a = c, b = d$ が示された。

(2)

$ω$ は1の3乗根で $1 + ω + ω^{2} = 0$ をみたすので $ω^{2} = - 1 - ω$ である。したがって

ω (x + y ω) = x ω + y ω^{2} = x ω + y (- 1 - ω) = - y + (x - y) ω .

$s + t ω = ω (x + y ω)$ であり、(1)より表示は一意であるから $s = - y, t = x - y$ である。よって

(s t) = (01 - 1 - 1) (x y)

となる。したがって

A = (01 - 1 - 1)

である。

(3)

(2)より、行列 $A$ は $x + y ω$ を $ω (x + y ω)$ に移す操作を表す。したがって $A^{2}$ は $ω^{2}$ 倍する操作を表し、 $E$ は1倍する操作を表す。

ゆえに $A^{2} + E$ は $ω^{2} + 1 = - ω$ を掛ける操作に対応する。したがって $(A^{2} + E)^{3 n}$ は $(- ω)^{3 n} = (- 1)^{3 n} ω^{3 n} = (- 1)^{n}$ を掛ける操作に対応する。実数 $(- 1)^{n}$ を掛ける操作の行列は $(- 1)^{n} E$ であるから $(A^{2} + E)^{3 n} = (- 1)^{n} E$ である。

別解。実際に

A^{2} = (- 1 - 1 10), A^{2} + E = (0 - 1 11)

である。さらに直接掛けると $(A^{2} + E)^{3} = - E$ となる。したがって $(A^{2} + E)^{3 n} = {(A^{2} + E)^{3}}^{n} = (- E)^{n} = (- 1)^{n} E$ を得る。

北海道大学 2001年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2001年度
理系数学前期第1問