北海道大学 2001年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

不等式 $cos 2 x + c x^{2} ≧ 1$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $c$ の値の範囲を求めよ．

出典：北海道大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

不等式を $c x^{2} ≧ 1 - cos 2 x$ と見て、 $x \neq = 0$ では $c ≧ (1 - cos 2 x) / x^{2}$ に直す。恒等式 $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ と $∣ sin x ∣ ≦ ∣ x ∣$ から上限 $2$ を得る。一方で $x \to 0$ の極限が $2$ になるので、 $c < 2$ は近くの点で破れる。

解答

まず $x = 0$ では $cos 0 + c \cdot 0^{2} = 1$ であり、どの $c$ でも等号が成り立つ。したがって $x \neq = 0$ を考える。

条件は $cos 2 x + c x^{2} ≧ 1$ すなわち $c ≧ \frac{1 - c o s 2 x}{x ^{2}}$ である。ここで $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ だから $\frac{1 - c o s 2 x}{x ^{2}} = 2 (\frac{s i n x}{x})^{2}$ である。 $∣ sin x ∣ ≦ ∣ x ∣$ より $2 (\frac{s i n x}{x})^{2} ≦ 2$ であるから、 $c ≧ 2$ ならすべての実数 $x$ について不等式は成り立つ。

逆に $c < 2$ とする。高校数学の基本極限 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ より

x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}} = x \to 0 lim 2 (\frac{sin x}{x})^{2} = 2

である。したがって、 $0$ に十分近い $x \neq = 0$ で $\frac{1 - c o s 2 x}{x ^{2}} > c$ となるものが存在し、このとき不等式は成り立たない。

以上より求める範囲は $c ≧ 2$ である。

北海道大学 2001年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

北海道大学 2001年度
理系数学前期第2問