北海道大学 2001年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

部分分数分解すると $\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)$ である。したがって

(2)

有限等比和より $(1-x^2)(1+x^2+x^4+\cdots +x^{2n})=1-x^{2n+2}$ である。したがって $\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+\cdots +x^{2n}+\frac{x^{2n+2}}{1-x^2}$ が成り立つ。

両辺を $0$ から $a$ まで積分すると、(1)より

である。これを移項して

を得る。

(3)

$|a|<1$ である。$x$ が $0$ と $a$ の間にあるとき、$|x|\leqq |a|$ であり $1-x^2\geqq 1-|a{|}^2>0$ である。よって余りの積分は

右辺は $n\to \infty$ で0に収束する。したがって ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^a\frac{x^{2n+2}}{1-x^2}dx=0$ である。

(2)の等式で $n\to \infty$ とすると $0=\frac{1}{2}\log \frac{1+a}{1-a}-{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{a^{2k+1}}{2k+1}$ となる。よって $\boxed{\log \frac{1+a}{1-a}=2\sum _{k=0}^{\infty }\frac{a^{2k+1}}{2k+1}}$ である。