問題
平面上の円へ，この円の外部の点から2本の接線を引き，その接点を，とし，線分の中点をとする．
(1) 点の座標を，を用いて表せ．
(2) 点が円の上を動くとき，点の軌跡を求めよ．
出典：北海道大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
単位円上の点 における接線は である。点 からの2接点はともに をみたすので、接点弦 は直線 になる。中点 は原点からこの直線への垂線の足。後半は から を逆に表し、 に代入する。
解答
(1)
単位円 上の点 における接線を考える。半径 と接線は垂直であるから、接線の方程式は である。
この接線が を通るための条件は である。したがって2つの接点 は、どちらも直線 上にある。つまり接点弦 の方程式は である。
円の中心は原点であるから、弦の中点 は原点から直線 に下ろした垂線の足である。この垂線は方向ベクトル をもつので、 は と書ける。これを に代入すると だから である。よって である。
(2)
とおく。(1)より である。ここで だから、逆に と表せる。
点 は円 上を動く。上の式を代入すると である。 とおいて整理すると すなわち である。したがって となる。
平方完成すると より である。
よって点 の軌跡は である。
別解。写像 は、原点を中心とする反転に対応している。すなわち、 は 上にあり、 をみたす。したがって の円をこの関係で移すと、同じ代入計算により上の円が得られる。