問題
関数が極値をもつように，定数の値の範囲を定めよ．ただし，は正の定数で，は自然対数の底である．
出典：北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
極値の有無は導関数の符号変化で判定する。導関数は、ロジスティック型の部分 から定数 を引いた形になる。 とおき、 の最大値が 、両端で0に近づくことを確認する。、、 では符号変化がないことも含めて、極値をもつ範囲を決める。
解答
まず導関数を求める。
ここで とおく。 とおくと、 より であり である。
この値の最大を調べる。相加相乗平均より であるから である。したがって であり、等号は 、すなわち のときに成り立つ。よって であり、最大値は である。また、 のとき 、 のとき なので、どちらの場合も である。
したがって の符号を考えればよい。 のときは より であり、極値はない。 のときも であり、極値はない。 のときは、 である両端付近では となり、 では となる。よって は2つの解をもち、その前後で符号が と変化する。したがって は極小値と極大値をもつ。 のときは であるから であり、等号は の一点だけである。符号は負から正、または正から負へ変化しないので、極値はない。 のときは であるから、常に であり、極値はない。
以上より、 が極値をもつための の範囲は である。