北海道大学 1999年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

直線 $L_2:y=\sqrt{3}x$ は $x$ 軸の正の向きとなす角が $60^{\circ }$ の直線である。原点を通り、角 $\theta$ をなす直線に関する対称移動は $(x,y)\mapsto (x\cos 2\theta +y\sin 2\theta ,x\sin 2\theta -y\cos 2\theta )$ で表せる。ここで $\theta =60^{\circ }$ だから $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2},\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。したがって $P=(a,b)$ の $L_2$ に関する対称点 $R$ は $R=\left(\frac{-a+\sqrt{3}b}{2},\frac{\sqrt{3}a+b}{2}\right)$ である。

(2)

直線 $L_1$ は $x$ 軸であるから、$P=(a,b)$ の $L_1$ に関する対称点は $Q=(a,-b)$ である。(1)の結果より $R=\left(\frac{-a+\sqrt{3}b}{2},\frac{\sqrt{3}a+b}{2}\right)$ なので

$QR=2$ であるから $3(a^2+b^2)=4$ である。よって、点 $P$ の軌跡 $C$ は $a^2+b^2=\frac{4}{3}$ すなわち、原点を中心とする半径 $2/\sqrt{3}$ の円である。

(3)

三角形 $PQR$ の面積を $S$ とする。$P=(a,b)$、$Q=(a,-b)$ であるから、$PQ$ は鉛直方向の線分で長さ $2|b|$ である。点 $R$ から直線 $PQ$、すなわち直線 $x=a$ までの距離は $\left|\frac{-a+\sqrt{3}b}{2}-a\right|=\frac{|-3a+\sqrt{3}b|}{2}$ である。したがって

である。

(2)より $a^2+b^2=4/3$ なので $a=\frac{2}{\sqrt{3}}\cos \theta ,b=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin \theta$ とおける。このとき

$\sin (2\theta +30^{\circ })$ は $-1$ 以上 $1$ 以下であるから、$|2\sin (2\theta +30^{\circ })-1|$ の最大値は、$\sin (2\theta +30^{\circ })=-1$ のときの3である。したがって面積の最大値は $\sqrt{3}$ である。

このとき $2\theta +30^{\circ }=270^{\circ }+360^{\circ }k$ であるから $\theta =120^{\circ }+180^{\circ }k$ である。よって点 $P$ は

または

である。

別解。(2)については、2つの対称移動の軸 $L_1$、$L_2$ のなす角が $60^{\circ }$ であることから、点 $P$ を中心に見たとき、対称点 $Q$、$R$ は同じ距離 $OP$ ではなく、原点を中心とする回転の関係で距離が決まる。実際、2直線に関する反射の合成は角 $120^{\circ }$ の回転であり、$Q$ と $R$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{a^2+b^2}$ の円周上で中心角 $120^{\circ }$ をなす。したがって $QR=2\sqrt{a^2+b^2}\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2}$ となり、$QR=2$ から同じく $a^2+b^2=\frac{4}{3}$ が得られる。