北海道大学 1999年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

三角形 $A B C$ において，面積が1で $A B = 2$ であるとき，

B C^{2} + (23 - 1) A C^{2}

の値を最小にするような $∠ B A C$ の大きさを求めよ．

出典：北海道大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

$A B$ を座標軸上に置き、点 $C$ から $A B$ へ下ろした垂線の足を $D$ とする。面積が1で $A B = 2$ なので高さは1であり、 $A D = x$ とおくと $A C^{2}$ 、 $B C^{2}$ が $x$ の2次式で表せる。求める式を平方完成して最小条件を出し、最後に $tan ∠ B A C = C D / A D$ から角度を求める。文系版と異なり垂線の足の位置は明示されていないが、最小を与える $x$ は正なので角度の決定に支障はない。

解答

点 $C$ から直線 $A B$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、 $A D = x$ とおく。 $A B = 2$ で三角形の面積が1だから $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C D = 1$ より $C D = 1$ である。

したがって、直角三角形 $A C D$ 、 $B C D$ に三平方の定理を用いると $A C^{2} = x^{2} + 1,$ $B C^{2} = (2 - x)^{2} + 1 = x^{2} - 4 x + 5$ である。よって

B C^{2} + (23 - 1) A C^{2} = (x^{2} - 4 x + 5) + (23 - 1) (x^{2} + 1) = 23 x^{2} - 4 x + 4 + 23 .

これを平方完成すると

23 x^{2} - 4 x + 4 + 23 = 23 (x - \frac{1}{3})^{2} + 4 + \frac{4 3}{3} .

したがって最小となるのは $x = \frac{1}{3}$ のときである。

このとき $tan ∠ B A C = \frac{C D}{A D} = \frac{1}{1/ 3} = 3$ であるから $∠ B A C = 6 0^{\circ}$ である。

別解。 $θ = ∠ B A C$ とおく。面積条件から $1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot A C sin θ$ であるから $A C = \frac{1}{s i n θ}$ である。余弦定理により $B C^{2} = 4 + \frac{1}{s i n ^{2} θ} - 4 cot θ$ なので $B C^{2} + (23 - 1) A C^{2} = 4 + 23 \frac{1}{s i n ^{2} θ} - 4 cot θ .$ $u = cot θ$ とおけば $1/ sin^{2} θ = 1 + u^{2}$ であるから

4 + 23 (1 + u^{2}) - 4 u = 23 (u - \frac{1}{3})^{2} + 4 + \frac{4 3}{3} .

よって $u = 1/ 3$ 、すなわち $θ = 6 0^{\circ}$ のとき最小となる。

北海道大学 1999年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

北海道大学 1999年度
理系数学前期第1問