北海道大学 1999年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$f (x)$ を周期1の周期関数とする．すなわち， $f (x + 1) = f (x)$ $(- \infty < x < \infty)$ とする． $a$ を実数とし， $p = \int_{0}^{1} e^{a x} f (x) d x$ とするとき，次の問いに答えよ．

(1) $n$ を自然数とするとき， $\int_{n}^{n + 1} e^{a x} f (x) d x$ を $p$ を用いて表せ．

(2) $n$ を自然数とするとき， $\int_{0}^{n} e^{a x} f (x) d x$ を $p$ を用いて表せ．

(3) 周期1の周期関数 $f (x)$ が $0 ≦ x ≦ 1$ の範囲で

f (x) = - x - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}

であるとき， $n \to \infty lim \int_{0}^{n} e^{- x} f (x) d x$ を求めよ．

出典：北海道大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

周期1の関数なので、区間 $[n, n + 1]$ の積分は $x = t + n$ と置換して $[0, 1]$ に戻す。このとき $f (t + n) = f (t)$ となり、指数関数の係数だけが $e^{an}$ 倍される。(2)は(1)を $k = 0, 1, \dots, n - 1$ で足す等比数列である。最後は $a = - 1$ として1周期分の積分 $p$ を具体的に計算し、無限等比和の極限として求める。

解答

(1)

$x = t + n$ とおくと、 $x = n$ から $n + 1$ まで動くとき、 $t$ は0から1まで動く。また周期1より $f (t + n) = f (t)$ である。したがって

\int_{n}^{n + 1} e^{a x} f (x) d x = \int_{0}^{1} e^{a (t + n)} f (t + n) d t = e^{an} \int_{0}^{1} e^{a t} f (t) d t = e^{an} p .

(2)

区間 $[0, n]$ を $[0, 1]$ 、 $[1, 2]$ 、 $\dots$ 、 $[n - 1, n]$ に分けると、(1)より $\int_{k}^{k + 1} e^{a x} f (x) d x = e^{ak} p$ である。したがって $\int_{0}^{n} e^{a x} f (x) d x = p (1 + e^{a} + e^{2 a} + \dots + e^{a (n - 1)}) .$ よって、 $a \neq = 0$ のときは等比数列の和より $\int_{0}^{n} e^{a x} f (x) d x = p \frac{e ^{an} - 1}{e ^{a} - 1}$ である。 $a = 0$ のときは各区間の積分がすべて $p$ になるので $\int_{0}^{n} f (x) d x = n p$ である。

(3)

ここでは $a = - 1$ である。まず $p = \int_{0}^{1} e^{- x} f (x) d x$ を求める。 $0 ≦ x ≦ 1/2$ では $f (x) = x + 1$ であり、 $1/2 ≦ x ≦ 1$ では $f (x) = 2 - x$ である。したがって

p = \int_{0}^{1/2} e^{- x} (x + 1) d x + \int_{1/2}^{1} e^{- x} (2 - x) d x .

それぞれ $\int e^{- x} (x + 1) d x = - (x + 2) e^{- x},$ $\int e^{- x} (2 - x) d x = (x - 1) e^{- x}$ であるから

\int_{0}^{1/2} e^{- x} (x + 1) d x = [- (x + 2) e^{- x}]_{0}^{1/2} = 2 - \frac{5}{2} e^{- 1/2},

\int_{1/2}^{1} e^{- x} (2 - x) d x = [(x - 1) e^{- x}]_{1/2}^{1} = \frac{1}{2} e^{- 1/2} .

よって $p = 2 - 2 e^{- 1/2}$ である。

(2)で $a = - 1$ とすると

\int_{0}^{n} e^{- x} f (x) d x = p \frac{e ^{- n} - 1}{e ^{- 1} - 1} = p \frac{1 - e ^{- n}}{1 - e ^{- 1}} .

したがって $n \to \infty$ とすると

n \to \infty lim \int_{0}^{n} e^{- x} f (x) d x = \frac{p}{1 - e ^{- 1}} = \frac{2 - 2 e ^{- 1/2}}{1 - e ^{- 1}} .

ここで $e^{- 1} = (e^{- 1/2})^{2}$ だから

\frac{2 - 2 e ^{- 1/2}}{1 - e ^{- 1}} = \frac{2 ( 1 - e ^{- 1/2} )}{( 1 - e ^{- 1/2} ) ( 1 + e ^{- 1/2} )} = \frac{2}{1 + e ^{- 1/2}} .

よって求める極限は $\frac{2}{1 + e ^{- 1/2}}$ である。

北海道大学 1999年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1999年度
理系数学前期第4問