問題
5 (b)無作為に13人を選ぶとき，日曜日生まれの人の数を，土曜日生まれの人の数をとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，どの曜日に生まれる確率もとする．
(1) ，となる確率を，の式として表せ．ただし，，，とする．
(2) が最大となるを求めよ．
出典：北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問(b)
方針
13人を日曜日・土曜日・その他の三種類に分類する多項分布として数える。(1) は日曜が 人，土曜が 人，その他が 人になる並べ方と確率を掛ける。(2) は に固定し， を一つ増やしたときの確率比を調べると，最大となる を分布全体を計算せずに決められる。
解答
(1)
13人を，日曜日生まれ，土曜日生まれ，その他の曜日生まれの三種類に分けて考える。それぞれの確率は である。 となるには，13人のうち日曜日生まれを 人，土曜日生まれを 人，その他を 人選べばよい。したがって
である。
(2)
と固定する。このとき は を動く。隣り合う確率の比を取ると
この比が 以上である条件は すなわち である。したがって確率は から へ増加し， から では比が なので同じ値を取り，その後は減少する。
よって最大となるのは である。