北海道大学 1998年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

関数 $y = 1 - (lo g x)^{2}$ $(\frac{1}{e} ≦ x ≦ e)$ のグラフを $C$ とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とし， $e$ はその底とする．

(1) $C$ 上の点 $A$ における $C$ の接線が原点 $O (0, 0)$ を通るものとする．このとき，点 $A$ の $x$ 座標を求めよ．

(2) $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形を， $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

出典：北海道大学 1998年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

$u = lo g x$ と置くと，曲線は $x = e^{u}$ ， $y = 1 - u^{2}$ となり， $- 1 ≦ u ≦ 1$ で半円型に扱える。(1) は原点を通る接線の条件を「接線の傾き $d y / d x$ が $y / x$ に等しい」として立てる。(2) は回転体の体積公式で $π \int y^{2} d x$ を作り， $d x = e^{u} d u$ によって一変数積分に直す。

解答

(1)

$u = lo g x$ とおくと， $x = e^{u}$ ， $- 1 ≦ u ≦ 1$ であり， $y = 1 - u^{2}$ である。 $u$ を媒介変数として微分すると $\frac{d y}{d u} = \frac{- u}{1 - u ^{2}}, \frac{d x}{d u} = e^{u} = x$ だから $\frac{d y}{d x} = \frac{- u}{x 1 - u ^{2}} .$ 点 $(x, y)$ における接線が原点を通るためには，接線の傾きが $y / x$ に等しいので $\frac{- u}{x 1 - u ^{2}} = \frac{1 - u ^{2}}{x} .$ 両辺に $x 1 - u^{2}$ を掛けて $- u = 1 - u^{2}$ すなわち $u^{2} - u - 1 = 0$ である。解は $u = \frac{1 \pm 5}{2}$ であり， $- 1 ≦ u ≦ 1$ に入るのは $u = \frac{1 - 5}{2}$ である。したがって $x = e^{(1 - 5) /2}$ である。

(2)

求める体積は $V = π \int_{1/ e}^{e} {1 - (lo g x)^{2}} d x$ である。 $u = lo g x$ と置くと， $d x = e^{u} d u$ ，積分範囲は $- 1 ≦ u ≦ 1$ になるので $V = π \int_{- 1}^{1} (1 - u^{2}) e^{u} d u .$ ここで $\frac{d}{d u} {- e^{u} (u - 1)^{2}} = e^{u} (1 - u^{2})$ であるから

\int_{- 1}^{1} (1 - u^{2}) e^{u} d u = [- e^{u} (u - 1)^{2}]_{- 1}^{1} = 0 - (- \frac{4}{e}) = \frac{4}{e} .

よって $V = \frac{4 π}{e}$ である。

北海道大学 1998年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1998年度
理系数学前期第2問