問題
中心がそれぞれ，，である半径1の円，を考える．円が，を内側に含み，の外側にあり，しかも，，の両方に接しながら動くとき，次の問いに答えよ．
(1) 円の中心の軌跡を求めよ．
(2) 円が直線に接するとき，の半径を求めよ．
出典：北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
円 の中心を ，半径を と置き，円 との内接条件を ，円 との外接条件を と表す。すると から中心の軌跡は双曲線になる。(2) は直線 への距離が半径に等しいことを使い，双曲線上の左枝で接触条件を満たす中心を求める。
解答
(1)
円 の中心を ，半径を とする。円 の中心を ，円 の中心を とすると，接触条件より である。したがって となる。これは焦点 からの距離差が である双曲線である。
焦点間距離は なので ，距離差は なので である。よって であり，方程式は である。さらに なので左側の枝を取る。したがって である。
(2)
直線 に接するので である。また だから である。
左枝上でこの条件を満たす点を調べる。 の場合は で， すなわち である。これと を連立すると を得る。 の場合は であるが，二乗すると となり， では右辺が負になるため解はない。
よって半径はそれぞれ である。したがって である。