問題
5 (a)が0以上2以下の実数であるような複素数 を表す複素数平面上の点の集合を，式で表し，図示せよ．
出典：北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問(a)
方針
と置き， の実部と虚部を計算する。条件は「実数である」ことと「値が に入る」ことの二段階である。虚部が になる条件から， と に分かれるので，各場合で実部の値域を調べる。最後に線分と円弧として図形をまとめる。
解答
とおく。ただし である。このとき なので
これが実数であるためには虚部が でなければならない。すなわち である。したがって または である。
まず の場合を考える。このとき で，値は である。 ならこの値は負になるので不適。 として を解く。左側は自動的に成り立ち，右側は と同値である。よって である。
次に の場合を考える。このとき なので である。値が 以上 以下であるためには であればよい。円 上では なので，条件は実質的に である。
したがって求める点の集合は と の和集合である。すなわち，実軸上の線分と，原点中心・半径 の右半円である。