北海道大学 1998年度文系数学前期第4問(b) 解答・解説

問題

4 (b)正の数 $a$ に対し，空間内の4点

O (0, 0, 0), A (0, 0, 1),

P (22 a, 0, 0), Q (2 a, 5 a, 1)

を考える． $∠ O P Q = 60^{\circ}$ が成り立つとき，次の問に答えよ．

(1) $a$ の値を求めよ．

(2) $A$ から3点 $O$ ， $P$ ， $Q$ を通る平面に下ろした垂線の足 $H$ の座標を求めよ．

出典：北海道大学 1998年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問(b)

方針

(1) は角 $∠ O P Q$ を，点 $P$ から出る二つのベクトル $P O$ ， $P Q$ の内積で表す。(2) は $a = 1$ を代入して平面 $O P Q$ の法線ベクトルを求め，原点を通る平面への点 $A$ の正射影を計算する。射影では， $H = A - λn$ とおいて $H$ が平面上にある条件から $λ$ を決める。

解答

(1)

点 $P, Q$ は $P = (22 a, 0, 0), Q = (2 a, 5 a, 1)$ である。したがって

P O = (- 22 a, 0, 0), P Q = (- 2 a, 5 a, 1)

である。

内積と大きさを計算すると $P O \cdot P Q = 4 a^{2},$ また

∣ P O ∣ = 22 a, ∣ P Q ∣ = 2 a^{2} + 5 a^{2} + 1 = 7 a^{2} + 1 .

よって

cos ∠ O P Q = \frac{4 a ^{2}}{2 2 a 7 a ^{2} + 1} = \frac{2 a}{7 a ^{2} + 1} .

$∠ O P Q = 6 0^{\circ}$ だから $\frac{2 a}{7 a ^{2} + 1} = \frac{1}{2} .$ 両辺を二乗して $\frac{2 a ^{2}}{7 a ^{2} + 1} = \frac{1}{4}$ より $8 a^{2} = 7 a^{2} + 1.$ $a > 0$ なので $a = 1$ である。

(2)

$a = 1$ のとき

O P = (22, 0, 0), O Q = (2, 5, 1)

である。この二つに垂直なベクトルとして $n = (0, - 22, 210)$ を取ることができる。実際，これは $O P$ と $O Q$ の外積である。

平面 $O P Q$ は原点を通り，法線ベクトルが $n$ であるから，方程式は $- 22 y + 210 z = 0$ である。点 $A = (0, 0, 1)$ からこの平面へ下ろした垂線の足を $H = A - λn$ とおく。 $H$ が平面上にあるためには $n \cdot H = 0$ である。したがって $n \cdot A - λ ∣ n ∣^{2} = 0$ である。ここで $n \cdot A = 210, ∣ n ∣^{2} = 8 + 40 = 48$ だから $λ = \frac{2 10}{48} = \frac{10}{24} .$ よって

H = (0, 0, 1) - \frac{10}{24} (0, - 22, 210) = (0, \frac{5}{6}, \frac{1}{6}) .

したがって $H = (0, \frac{5}{6}, \frac{1}{6})$ である。

北海道大学 1998年度文系数学 前期 第4問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1998年度
文系数学前期第4問(b)