問題
の小数部分がに等しくなるような正の数ををすべて求めよ．ただし，正の数の小数部分とは，を越えない最大の整数との差のことをいう．たとえば，3の小数部分は0であり，3.14の小数部分は0.14である．
出典：北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
小数部分を扱うので， の整数部分を と置く。小数部分が であることは と同値で，ここから二次方程式が出る。最後に，得られた正の解について が成り立ち，確かに整数部分が になることを確認する。
解答
の整数部分を とする。 であるから であり， は 以上の整数である。
小数部分が に等しいので と書ける。両辺に を掛けると すなわち である。この二次方程式の解は であり，正の解は である。
逆に， に対して とおく。このとき であり，また だから である。さらに二次方程式を満たすので が成り立つ。右辺の は に入っているから， が整数部分， が小数部分である。
したがって求める正の数は である。