問題
4 (a)複素数平面において，複素数1，，，，を表す点を，それぞれ，，，，，とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 点が線分上をからまで動くとき，複素数を表す点は，複素数平面上で，どのような図形をえがくか．式で表し，図示せよ．
(2) が点を直角の頂点とする直角二等辺三角形になるとき，複素数を求めよ．
出典：北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問(a)
方針
(1) は線分 上の点を と置き， の実部と虚部から媒介変数 を消去する。(2) は と を結ぶ線分が直角二等辺三角形の斜辺になることを使う。頂点 は の中点から，半分のベクトルを 回転した二方向に取ればよい。
解答
(1)
点 が線分 上を動くので， を用いて と表せる。すると である。 を表す点の座標を とすると である。 より であり， を代入すると したがって軌跡は である。これは，左向きに開く放物線 のうち， から までの部分である。
(2)
は ， は を表すので，座標では である。 が を直角の頂点とする直角二等辺三角形であるとき， は斜辺である。
線分 の中点を とすると である。また である。このベクトルを 回転すると の二つが得られる。したがって は
または
である。
よって対応する複素数は である。