北海道大学 1998年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

正の数 $a$ に対し，関数

y = x^{2} - a x (\frac{a}{6} ≦ x ≦ \frac{5 a}{6})

のグラフを $C$ とする．長方形 $T$ で，一辺が $x$ 軸に含まれ，その対辺の両端が $C$ 上にあるものをすべて考える．このとき，次の問に答えよ．

(1) 長方形 $T$ の周の長さの最大値を， $a$ を用いて表せ．ただし，長方形の周の長さとは，4辺の長さの和のことをいう．

(2) 長方形 $T$ の面積の最大値を， $a$ を用いて表せ．

出典：北海道大学 1998年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

放物線 $y = x^{2} - a x$ は軸 $x = a /2$ に関して対称で，指定区間も $x = a /2$ を中心に左右 $a /3$ だけ広がっている。長方形の上側の辺は $x$ 軸に平行でなければならないので，その両端を $x = a /2 \pm u$ と置くと，幅は $2 u$ ，高さは $a^{2} /4 - u^{2}$ になる。あとは $0 ≦ u ≦ a /3$ の範囲で，周長の二次式と面積の三次式を最大化し，周長だけは頂点 $u = 1$ が範囲に入るかで場合分けする。

解答

放物線を平方完成すると $y = x^{2} - a x = (x - \frac{a}{2})^{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ である。指定区間 $a /6 ≦ x ≦ 5 a /6$ は，軸 $x = a /2$ から左右に $a /3$ だけ離れた範囲である。

長方形の対辺の両端を $x = \frac{a}{2} - u, x = \frac{a}{2} + u$ に対応する放物線上の二点とおく。このとき $0 ≦ u ≦ \frac{a}{3}$ である。両端の $y$ 座標は $y = u^{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ なので，長方形の高さは $\frac{a ^{2}}{4} - u^{2}$ であり，幅は $2 u$ である。

(1)

周の長さを $P (u)$ とすると $P (u) = 2 (2 u + \frac{a ^{2}}{4} - u^{2}) = 4 u + \frac{a ^{2}}{2} - 2 u^{2} .$ したがって $P^{'} (u) = 4 - 4 u$ であり，二次式の頂点は $u = 1$ である。 $0 < a < 3$ のときは $a /3 < 1$ なので， $P (u)$ は許された範囲で増加し，最大は $u = a /3$ で生じる。よって

P_{m a x} = 4 \cdot \frac{a}{3} + \frac{a ^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{a ^{2}}{9} = \frac{4 a}{3} + \frac{5 a ^{2}}{18} .

$a ≧ 3$ のときは $u = 1$ を取ることができ， $P_{m a x} = 4 + \frac{a ^{2}}{2} - 2 = \frac{a ^{2}}{2} + 2.$ したがって

P_{m a x} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4 a}{3} + \frac{5 a ^{2}}{18} \frac{a ^{2}}{2} + 2 (0 < a ≦ 3), (a ≧ 3)

である。 $a = 3$ では二つの式は同じ値になる。

(2)

面積を $S (u)$ とすると $S (u) = 2 u (\frac{a ^{2}}{4} - u^{2}) = \frac{a ^{2}}{2} u - 2 u^{3} .$ 微分すると $S^{'} (u) = \frac{a ^{2}}{2} - 6 u^{2} .$ よって $S^{'} (u) = 0$ となる正の値は $u = \frac{a}{2 3}$ である。この値は $\frac{a}{2 3} < \frac{a}{3}$ を満たすので，許された範囲内にある。また $S^{'} (u)$ はこの前で正，この後で負であるから，ここで最大となる。

したがって

S_{m a x} = 2 \cdot \frac{a}{2 3} (\frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{12}) = \frac{a}{3} \cdot \frac{a ^{2}}{6} = \frac{a ^{3}}{6 3} = \frac{3 a ^{3}}{18} .

北海道大学 1998年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1998年度
文系数学前期第1問