問題
4 (b)原点をとする平面において点とベクトルをとり，ベクトル方程式で表される直線をとする．原点を発した光が，上の点でにあたって反射するとき，その反射光のなす半直線をで表す．ただし，光は直進し，線分とのなす角度はとのなす角度に等しくなるように反射するものとする．
(1) 直線に関してと対称な点の座標を求めよ．
(2) 半直線を含む直線のベクトル方程式がとなるようなベクトルを1つ求め，その成分をを用いて表せ．
出典：北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問(b)
方針
直線 をまず方程式 に直す。反射では、直線に関して原点を対称移動した点 を求めると、反射後の光線は と反射点 を結ぶ直線上にある。したがって が 上にある条件 を使い、方向ベクトルを として表す。
解答
(1)
直線 は で表されるから、座標で書くと である。すなわち である。
原点 からこの直線に下ろした垂線の足を とする。直線 の法線ベクトルは なので、 は と書ける。これを直線の方程式に代入すると より である。したがって である。原点と対称な点 は を中点にもつので である。
(2)
反射の法則より、直線 に関して原点 を対称移動した点 から点 へ進む直線が、反射光を含む直線になる。したがって方向ベクトルとして を取ればよい。 は直線 上にあるので である。よって
となる。したがって、例えば を取ればよい。