北海道大学 1997年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

接点を $T=(X,Y)$ とおく。$T$ は円 $C$ 上にあるから $X^2+Y^2=r^2$ である。また、接線 $PT$ は半径 $OT$ と垂直であるから $(P-T)\cdot T=0$ である。$P=(r,t)$ より $rX+tY=X^2+Y^2=r^2$ を得る。したがって $T$ は $X^2+Y^2=r^2,rX+tY=r^2$ を満たす。

ここで $A=(r,0)$ もこの2式を満たす。$rX+tY=r^2$ から $Y=\frac{r^2-rX}{t}$ として円の方程式に代入すると $X^2+{\left(\frac{r^2-rX}{t}\right)}^2=r^2$ である。整理すると $(X-r)\{(r^2+t^2)X-r(r^2-t^2)\}=0$ となる。$X=r$ は接点 $A$ に対応するので、求めるもう一つの接点では $X=\frac{r(r^2-t^2)}{r^2+t^2}$ である。これを $rX+tY=r^2$ に戻すと $Y=\frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}$ である。よって $T=\left(\frac{r(r^2-t^2)}{r^2+t^2},\frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}\right)$ である。

(2)

点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので $Q=\lambda (r,t)$ とおく。すなわち $Q=(\lambda r,\lambda t)$ である。

一方、$Q$ は線分 $AT$ 上にもある。$A=(r,0)$ から $T$ へ向かうベクトルは $T-A=\left(-\frac{2r{t}^2}{r^2+t^2},\frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}\right)$ であるから、$AT$ 上の点は $A+\mu (T-A)$ と表せる。この $y$ 座標を $\lambda t$ と比較すると $\lambda t=\mu \frac{2r^{2}t}{r^2+t^2}$ であり、$t\ne 0$ より $\lambda =\mu \frac{2r^2}{r^2+t^2}$ である。$x$ 座標を比較すると $\lambda r=r-\mu \frac{2r{t}^2}{r^2+t^2}$ である。これらから $\mu =1/2$ が得られ、したがって $\lambda =\frac{r^2}{r^2+t^2}$ である。よって $Q=\left(\frac{r^3}{r^2+t^2},\frac{r^{2}t}{r^2+t^2}\right)$ となる。 $Q=(x,y)$ とおくと $x=\frac{r^3}{r^2+t^2},y=\frac{r^{2}t}{r^2+t^2}$ である。これより $x^2+y^2=\frac{r^6+r^4{t}^2}{(r^2+t^2{)}^2}=\frac{r^4}{r^2+t^2}=rx$ を得る。したがって軌跡は $x^2+y^2=rx$ すなわち ${\left(x-\frac{r}{2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{r}{2}\right)}^2$ である。

今、$P$ は直線 $x=r$ の第1象限にある部分を動くので $t>0$ である。したがって $y>0$ である。また $t\to 0+$ で $Q$ は $A$ に近づき、$t\to \infty$ で原点に近づくが、$t=0$ でも $t=\infty$ でもない。よって求める軌跡は ${\left(x-\frac{r}{2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{r}{2}\right)}^2,y>0$ で表される上半円であり、端点 $(0,0)$、$(r,0)$ は含まない。