問題
を原点とする座標平面上に点を中心とする半径1の円がある．ただし，とする．と軸との交点のうち右側にあるものをとする．とし，第1象限内で，円上に2点，を，となるようにとる．から軸に下ろした垂線をとし，から軸に下ろした垂線をとする．とを2辺とする長方形の面積について考える．
(1) とおくとき，をとで表せ．
(2) がの範囲を動くとき，の最大値とそのときのの値をで表せ．
出典：北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
点 の座標を円の中心 から見た角で表す。長方形の辺の長さは と なので、 に直すと になる。あとは 上の3次関数の最大値を、臨界点が区間内にあるかどうか、すなわち か かで分ける。
解答
(1)
円 の中心は 、半径は1である。右側の交点 は であり、 は 軸の正の向きである。したがって であり、 である。 から 軸に下ろした垂線の足は であるから である。また、 から 軸に下ろした垂線の足は である。 なので 、また であるから である。
よって長方形の面積は である。 とおくと であるから である。
(2)
より である。したがって をこの範囲で最大化すればよい。微分すると である。
臨界点は である。この点が区間内にある条件は すなわち である。 のときは、この臨界点で が最大になる。実際、 はこの点の前で正、後で負である。よって であり、最大値は である。 のときは、区間内で となるので、右端 で最大となる。このとき である。 では2つの表示は一致する。