北海道大学 1997年度
文系数学 前期 第4問(a)

解答

$z=r{e}^{i\theta }$ とおく。ただし $r>0$ である。このとき $z^2=r^2{e}^{2i\theta },\frac{1}{z^2}=r^{-2}{e}^{-2i\theta }$ である。したがって $w=z^2-\frac{1}{z^2}=r^2{e}^{2i\theta }-r^{-2}{e}^{-2i\theta }$ であり、その実部は $\mathrm{Re}w=(r^2-r^{-2})\cos 2\theta$ である。

よって $w$ の実部が正である条件は $(r^2-r^{-2})\cos 2\theta >0$ である。$r>1$ なら $r^2-r^{-2}>0$ なので $\cos 2\theta >0$ が必要十分である。これは $x$ 軸に近い2つの領域、すなわち直線 $y=x$、$y=-x$ に挟まれる側である。

一方、$0<r<1$ なら $r^2-r^{-2}<0$ なので $\cos 2\theta <0$ が必要十分である。これは $y$ 軸に近い2つの領域である。

直交座標で書けば、境界は $x^2+y^2=1,x^2-y^2=0$ である。したがって求める領域は $(x^2+y^2-1)(x^2-y^2)>0$ で表される部分である。ただし、境界で実部は0になるので境界は含まない。また $z\ne 0$ であるから原点も含まない。

別解。$z=x+iy$ として直接計算してもよい。$z^2$ の実部は $x^2-y^2$ であり、$\frac{1}{z^2}=\frac{{\overline{z}}^2}{|z{|}^4}$ だから $1/z^2$ の実部は $\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}$ である。よって $\mathrm{Re}w=(x^2-y^2)\left(1-\frac{1}{(x^2+y^2{)}^2}\right)$ となり、符号条件は同じく $(x^2-y^2)(x^2+y^2-1)>0$ に帰着する。