北海道大学 1997年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

近似値 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ ， $lo g_{10} 3 = 0.4771$ を利用して次の問に答えよ．

(1) $18^{35}$ の桁数を求めよ．

(2) $18^{35}$ の最高位の数字が8であることを示せ．

出典：北海道大学 1997年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

桁数と最高位の数字はいずれも常用対数で判定する。まず $lo g_{10} 18 = lo g_{10} 2 + 2 lo g_{10} 3$ を近似値から求め、 $35$ 倍した値の整数部分から桁数を読む。最高位は小数部分 $0.932$ に対して、 $lo g_{10} 8$ と $lo g_{10} 9$ の間に入ることを示せばよい。

解答

(1)

与えられた近似値から $lo g_{10} 18 = lo g_{10} (2 \cdot 3^{2}) = lo g_{10} 2 + 2 lo g_{10} 3$ である。したがって $lo g_{10} 18 = 0.3010 + 2 \cdot 0.4771 = 1.2552$ である。よって $lo g_{10} 1 8^{35} = 35 \cdot 1.2552 = 43.932$ となる。

一般に、 $1 0^{m} ≦ N < 1 0^{m + 1}$ なら $N$ は $m + 1$ 桁である。今 $43 < lo g_{10} 1 8^{35} < 44$ だから $1 0^{43} < 1 8^{35} < 1 0^{44}$ である。したがって $1 8^{35}$ の桁数は $44$ である。

(2)

(1)より $1 8^{35} = 1 0^{43} \cdot 1 0^{0.932}$ である。最高位の数字が8であることを示すには $8 ≦ 1 0^{0.932} < 9$ を示せばよい。

与えられた値から $lo g_{10} 8 = lo g_{10} 2^{3} = 3 lo g_{10} 2 = 0.9030$ であり、また $lo g_{10} 9 = lo g_{10} 3^{2} = 2 lo g_{10} 3 = 0.9542$ である。したがって $lo g_{10} 8 = 0.9030 < 0.932 < 0.9542 = lo g_{10} 9$ となる。常用対数は増加関数であるから $8 < 1 0^{0.932} < 9$ である。ゆえに $1 8^{35}$ の最高位の数字は8である。

北海道大学 1997年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1997年度
文系数学前期第2問