北海道大学 1996年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$a$ を $0 ≦ a < 1$ の範囲の数とする． $F (a) = \int_{1}^{2} ∣ lo g (x - a) ∣ d x$ とおくとき， $F (a)$ の最小値とそれを与える $a$ の値を求めよ．

出典：北海道大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

$0 ≦ a < 1$ では $x - a$ が $1$ をまたぐので、 $x = a + 1$ を境に $lo g (x - a)$ の符号を分ける。変数変換 $u = x - a$ で積分区間を $[1 - a, 1]$ 、 $[1, 2 - a]$ に直し、端点だけが $a$ に依存する形で微分する。臨界点は $(1 - a) (2 - a) = 1$ で、凸性と端点の符号から最小値を与えることを確認する。

解答

$0 ≦ a < 1$ では、 $1 ≦ x ≦ 2$ に対して $x - a > 0$ である。また $lo g (x - a) = 0$ となるのは $x = a + 1$ であり、 $a + 1$ は区間 $[1, 2)$ に入る。したがって、 $u = x - a$ とおくと $F (a) = \int_{1 - a}^{1} - lo g u d u + \int_{1}^{2 - a} lo g u d u$ である。

この式を $a$ で微分すると、端点の変化だけを考えて $F^{'} (a) = - lo g (1 - a) - lo g (2 - a) = - lo g {(1 - a) (2 - a)}$ となる。さらに $F^{''} (a) = \frac{1}{1 - a} + \frac{1}{2 - a} > 0$ であるから、 $F (a)$ は $0 ≦ a < 1$ で下に凸である。

最小を与える点は $F^{'} (a) = 0$ を満たす。すなわち $(1 - a) (2 - a) = 1$ である。これを解くと $a^{2} - 3 a + 1 = 0$ より $a = \frac{3 \pm 5}{2}$ である。範囲 $0 ≦ a < 1$ に入るのは $a = \frac{3 - 5}{2}$ だけである。

このとき $1 - a = \frac{5 - 1}{2}, 2 - a = \frac{5 + 1}{2}$ であり、両者の積は $1$ である。 $r = 1 - a$ 、 $s = 2 - a$ とおくと、 $r s = 1$ 、 $s - r = 1$ 、 $r + s = 5$ である。よって

F (a) = \int_{r}^{1} - lo g u d u + \int_{1}^{s} lo g u d u = (1 + r lo g r - r) + (s lo g s - s + 1) = 2 - (r + s) + r lo g r + s lo g s .

ここで $r = 1/ s$ だから $lo g r = - lo g s$ であり、 $r lo g r + s lo g s = (s - r) lo g s = lo g s .$ したがって最小値は $2 - 5 + lo g \frac{1 + 5}{2}$ である。

北海道大学 1996年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

北海道大学 1996年度
理系数学前期第5問