問題
曲線は直線と交点をもたないものとする．点における曲線の接線は直線と交点をもち，その交点の座標をとする．
が，をみたしているとき，次のそれぞれの場合に関数を表す式を求めよ．
(1) 曲線が点を通る場合．
(2) 曲線がある点で曲線と接する場合．
ただし，2つの曲線が点で接するとは，が2つの曲線上にあり，かつにおける2つの曲線の接線が等しいことをいう．
出典：北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
接線の式に 、 を代入し、さらに 、 から を先に確定する。すると が得られ、 が指数関数型になる。(1)は通過点で定数を決め、(2)は接点 における値の一致と傾きの一致を連立する。
解答
接点を とする。この点における接線は である。直線 との交点の 座標が なので、 が成り立つ。
一方、、 より である。したがって となり、上の式から を得る。よって は一定であるから、定数 を用いて と表せる。曲線 が直線 と交点をもたないためには であればよく、以下で得られる定数はいずれも ではない。
(1)
曲線が を通るので、 である。したがって であり、 である。
(2)
曲線 と で接するとする。値が一致することから であり、傾きが一致することから である。したがって となるので、 よって である。 のとき だから であり、 である。 のとき だから であり、 である。