北海道大学 1996年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) 数学的帰納法により次の不等式を証明せよ．ただし， $n = 1, 2, 3, \dots\dots$ とする．

k = 1 \sum 2^{n} \frac{1}{k} ≧ \frac{n}{2} + 1

(2) 次の命題は真か偽か．真ならば証明し，偽ならばその例をあげ理由を説明せよ．

n \to \infty lim (a_{n + 1} - a_{n}) = 0 ならば数列 {a_{n}} は収束する．

出典：北海道大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1)は指定通り数学的帰納法で示す。 $2^{n}$ から $2^{n + 1}$ まで増える部分にある $2^{n}$ 個の項を、すべて $1/ 2^{n + 1}$ 以上と下から評価するのが決め手である。(2)は命題が偽であることを示すため、差が $0$ に近づくが発散する数列を作り、(1)でその発散を保証する。

解答

(1)

$n = 1$ のとき $\sum_{k = 1}^{2} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ であり、右辺も $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ であるから成り立つ。

次に、ある $n ≧ 1$ で $\sum_{k = 1}^{2^{n}} \frac{1}{k} ≧ \frac{n}{2} + 1$ が成り立つと仮定する。このとき

k = 1 \sum 2^{n + 1} \frac{1}{k} = k = 1 \sum 2^{n} \frac{1}{k} + k = 2^{n} + 1 \sum 2^{n + 1} \frac{1}{k}

である。後半の和には $2^{n}$ 個の項があり、各項は $\frac{1}{k} ≧ \frac{1}{2 ^{n + 1}}$ を満たす。したがって $\sum_{k = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}} \frac{1}{k} ≧ 2^{n} \cdot \frac{1}{2 ^{n + 1}} = \frac{1}{2} .$ よって帰納法の仮定から

k = 1 \sum 2^{n + 1} \frac{1}{k} ≧ (\frac{n}{2} + 1) + \frac{1}{2} = \frac{n + 1}{2} + 1

となる。以上より、数学的帰納法によって $\sum_{k = 1}^{2^{n}} \frac{1}{k} ≧ \frac{n}{2} + 1$ がすべての正の整数 $n$ で成り立つ。

(2)

命題は偽である。反例として $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ をとる。このとき $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{n + 1}$ であるから、 $lim_{n \to \infty} (a_{n + 1} - a_{n}) = 0$ を満たす。

しかし (1) より $a_{2^{n}} = \sum_{k = 1}^{2^{n}} \frac{1}{k} ≧ \frac{n}{2} + 1$ である。右辺は $n \to \infty$ で限りなく大きくなるので、部分列 $a_{2^{n}}$ は有界でない。したがって数列 ${a_{n}}$ は収束しない。よって与えられた命題は偽である。

北海道大学 1996年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1996年度
理系数学前期第4問