問題
平面上で原点と異なる定点をとする．点はからへはかった角がとなる範囲にあるものとし，とおく．2点，の間の距離をで表すものとする．
(1) およびを，，で表せ．
(2) 定数をとする．であるとき，のとりうる値の範囲を，，を用いて表せ．
出典：北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
(1)では を2つのベクトルで作る平行四辺形の符号付き面積、 を内積として読み替える。(2)では が中心 、半径 の円板を表し、 なので原点から見た角度の最大は接線で決まる。 まで落とせば、角度範囲を接線角で評価するだけでよい。
解答
(1)
、 である。 から へ測った角が で、 だから、 である。また内積より である。したがって となる。
(2)
は中心 、半径 の円板を表す。 なので、この円板は原点 を含まない。原点 からこの円に引いた接線の接点を とし、 と のなす角を とする。
点 が円板内を動くとき、 の最大値は接線方向で生じる。直角三角形 において であるから、 である。よって (1)より であり、条件から となる。したがって の範囲は である。
別解。座標軸を回転して、 が新しい 軸の正の向きになるように見る。 とおくと 、 と書け、 である。円板は で表される。直線 がこの円に接するときが の最大であり、中心 から直線 までの距離が だから これを解くと となり、同じ範囲を得る。