問題
一枚の硬貨を投げて，君と君が次のようなゲームを行う．ゲーム開始時における君，君の得点はともに0点とする．毎回の硬貨投げの試行で表がでたとき君の勝ち，裏がでたとき君の勝ちとし，勝った方に点，負けた方に点がそれまでの得点に加えられるとする．
各試行は独立としてこの試行を続けたとき，次の問いに答えよ．ただし，硬貨の表と裏のでる確率は，ともにである．また，とはともに1以上の整数とする．
(1) 3回の試行の後，君の得点が1点である場合の数を求めよ．
(2) 回の試行の後，君の得点が点である場合の数を求めよ．
(3) 回の試行の後，君の得点が点とする．試行開始後君の得点がつねに君の得点より多い確率を求めよ．
方針
各時点の 君の得点は「表の回数 裏の回数」であり、 君の得点はその反対である。したがって 君が常に多い条件は、各途中時点で表の累計が裏の累計より大きいことと同値になる。(1)(2)は表裏の回数を決めるだけでよく、(3)は最初に表を出した後、途中で同点に戻らない列を反射法で数える。
解答
(1)
3回の試行で表が 回、裏が 回出たとする。 君の得点は であり、 である。よって 、 であり、場合の数は である。
(2)
回後に表が 回、裏が 回出たとする。このとき であるから、 である。したがって のとき、場合の数は である。 のときは となるので、そのような列は存在せず 通りである。
(3)
条件付きで考える。 回後に 君の得点が 点であるから、以下では とする。表の総数を 裏の総数を とおく。全体の場合の数は である。
途中時点で 君の得点が 君の得点より多いことは、 君の得点が正、すなわち表の累計が裏の累計より多いことと同値である。したがって、各途中時点で を満たす列を数えればよい。
この条件を満たす列は最初が必ず表である。最初の表を取り除いた残り 個の並びには、表が 個、裏が 個ある。残りの並びを左から読んだとき、途中で初めて表裏の累計差が になるものを不適とする。この不適な並びは、初めて になったところまで表と裏を入れ替える反射によって、表が 個、裏が 個ある並びと一対一に対応する。
したがって適する列の数は である。これを整理すると
また であるから、求める確率は
よって である。