北海道大学 1995年度
理系数学 前期 第5問

解答

表を $H$，裏を $T$ と書く。$x$ 座標は，それまでに出た表の回数に等しい。したがって直線 $x=2$ 上を長さ1以上通過するのは，表がちょうど2回出た状態で $T$ が出て，縦方向に1進むときである。

(1)

$N=4$ のとき，条件を満たす列を直接数える。表が2回出た後に裏が出る必要があるので，該当する列は $HHTT,HHTH,HTHT,THHT$ の4通りである。全事象は $2^4=16$ 通りなので $\boxed{P_4=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}}$ である。

(2)

$N\geqq 3$ とする。補集合，すなわち直線 $x=2$ 上を縦に進まない列を数える。

まず，表の総数が0回または1回なら，そもそも $x=2$ に到達しない。このような列は $1+N$ 通りである。

次に，表が少なくとも2回出る場合を考える。2回目の表が出た直後に裏が出ると成功してしまうので，失敗するには次のどちらかでなければならない。

2回目の表が最後の試行で出る場合は，2回目の表の位置が $N$ であり，その前の $N-1$ 個の位置から1個だけ表を選ぶので $N-1$ 通りである。

2回目の表が $j$ 回目に出て，さらに $j+1$ 回目も表である場合を考える。ただし $2\leqq j\leqq N-1$ である。最初の $j-1$ 回のうち表は1回だけなので $j-1$ 通り，$j+1$ 回目の後は自由なので $2^{N-j-1}$ 通りである。したがってこの場合の総数は ${\sum }_{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}$ である。

以上より失敗する列の総数は $1+N+(N-1)+{\sum }_{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}$ である。ここで ${\sum }_{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}=2^{N-1}-N$ だから，失敗する列の総数は $2^{N-1}+N$ となる。よって成功する確率は $P_N=1-\frac{2^{N-1}+N}{2^N}=\boxed{\frac{1}{2}-\frac{N}{2^N}}$ である。

なお，上の和の公式は，$i=j-1$ とおいて ${\sum }_{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}=2^{N-2}{\sum }_{i=1}^{N-2}\frac{i}{2^i}$ とし，${\sum }_{i=1}^m\frac{i}{2^i}=2-\frac{m+2}{2^m}$ を用いれば得られる。

(3)

(2) の式から ${\lim }_{N\to \infty }\frac{N}{2^N}=0$ であるため $\boxed{\underset{N\to \infty }{\lim }{P}_N=\frac{1}{2}}$ である。