北海道大学 1995年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ は $x > 0$ で定義され

(＊) $\int_{1}^{x} (t + x) f (t) d t = 4 x - 4$

を満たす．このとき，次の問に答えよ．

(1) (＊)の両辺を微分し， $y = \int_{1}^{x} f (t) d t$ の満たす微分方程式を求めよ．

(2) $f (x)$ を求めよ．

出典：北海道大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

積分の中に $x$ が含まれているので， $y = \int_{1}^{x} f (t) d t$ とおき， $\int_{1}^{x} t f (t) d t + x y$ の形に分けてから微分する。得られた一次微分方程式は， $x y$ を微分した形にまとめて解く。

解答

(1)

$y = \int_{1}^{x} f (t) d t$ とおく。このとき $y^{'} = f (x)$ であり，与えられた式は $\int_{1}^{x} t f (t) d t + x \int_{1}^{x} f (t) d t = 4 x - 4$ すなわち $\int_{1}^{x} t f (t) d t + x y = 4 x - 4$ と書ける。両辺を $x$ で微分すると，第1項は $\frac{d}{d x} \int_{1}^{x} t f (t) d t = x f (x)$ であり，第2項は $\frac{d}{d x} (x y) = y + x y^{'} = y + x f (x)$ である。したがって $x f (x) + y + x f (x) = 4$ となる。 $f (x) = y^{'}$ より，求める微分方程式は $2 x y^{'} + y = 4$ である。

(2)

$x > 0$ なので，(1) の式を $2 x$ で割ると $y^{'} + \frac{1}{2 x} y = \frac{2}{x}$ である。ここで

(x y)^{'} = x y^{'} + \frac{1}{2 x} y = x (y^{'} + \frac{1}{2 x} y) = \frac{2}{x}

となる。よって $1$ から $x$ まで積分して $x y - y (1) = \int_{1}^{x} \frac{2}{t} d t = 4 (x - 1)$ である。定義から $y (1) = 0$ なので $x y = 4 x - 4$ となり， $y = 4 - \frac{4}{x}$ を得る。したがって $f (x) = y^{'} = 2 x^{- 3/2}$ である。

最後に確認しておく。 $f (t) = 2 t^{- 3/2}$ ならば

\int_{1}^{x} f (t) d t = 4 - \frac{4}{x}, \int_{1}^{x} t f (t) d t = 4 (x - 1)

であるから

\int_{1}^{x} (t + x) f (t) d t = 4 (x - 1) + x (4 - \frac{4}{x}) = 4 x - 4

となり，確かに条件を満たす。

北海道大学 1995年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1995年度
理系数学前期第4問