北海道大学 1995年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

平面において，次の2本の直線 $l$ と $m$ を考える．ただし $\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}$ である．

$l$ ： $y = tan (θ + \frac{π}{4}) x$ ，

$m$ ： $y = - x + 2 (1 - \frac{2}{π} θ)$

$l$ と $m$ の交点を $(x (θ), y (θ))$ とするとき，次の問に答えよ．

(1) $y (θ)$ を求めよ．

(2) $t \to 0 lim \frac{1 + tan ( \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2} t )}{t}$ を求めよ．

(3) $θ \to \frac{π}{2} lim y (θ)$ を求めよ．

出典：北海道大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

交点では2本の直線の $y$ 座標が等しいので，まず $y (θ)$ を傾き $T = tan (θ + \frac{π}{4})$ で表す。極限は $θ \to \frac{π}{2}$ で $1 + T \to 0$ となるため，設問(2)の極限をそのまま分母の一次近似として使う。

解答

(1)

T = tan (θ + \frac{π}{4}), c = 2 (1 - \frac{2 θ}{π})

とおく。2直線の交点では $T x = - x + c$ であるから $x = \frac{c}{T + 1}$ となる。したがって $y (θ) = T x = \frac{T c}{T + 1}$ であり，もとの文字に戻すと

y (θ) = 2 (1 - \frac{2 θ}{π}) \frac{tan ( θ + \frac{π}{4} )}{1 + tan ( θ + \frac{π}{4} )}

である。

(2)

$u = \frac{π}{2} t$ とおくと， $t \to 0$ のとき $u \to 0$ である。加法定理より $tan (\frac{3 π}{4} - u) = \frac{- 1 - t a n u}{1 - t a n u}$ なので

1 + tan (\frac{3 π}{4} - u) = 1 + \frac{- 1 - tan u}{1 - tan u} = \frac{- 2 tan u}{1 - tan u}

である。したがって

\frac{1 + tan ( \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2} t )}{t} = - \frac{2 tan u}{t ( 1 - tan u )} = - \frac{2 u}{t} \cdot \frac{tan u}{u} \cdot \frac{1}{1 - tan u}

となる。 $u / t = \frac{π}{2}$ ， $\frac{tan u}{u} \to 1$ ， $1 - tan u \to 1$ より $- π$ である。

(3)

$s = 1 - \frac{2 θ}{π}$ とおくと， $θ \to \frac{π}{2} - 0$ のとき $s \to + 0$ であり， $θ + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2} s$ である。(2) より $\frac{1 + t a n ( θ + \frac{π}{4} )}{s} \to - π$ であり，また $tan (θ + \frac{π}{4}) \to - 1$ である。したがって (1) の式から

y (θ) = 2 \cdot \frac{tan ( θ + \frac{π}{4} )}{\frac{1 + tan ( θ + \frac{π}{4} )}{s}} \to 2 \cdot \frac{- 1}{- π}

となる。よって $θ \to \frac{π}{2} lim y (θ) = \frac{2}{π}$ である。

別解。 (2) の計算をそのまま (3) に代入すると，

1 + tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{- 2 tan ( \frac{π s}{2} )}{1 - tan ( \frac{π s}{2} )}

である。これを $y (θ) = 2 s T / (1 + T)$ に入れてから $s \to 0$ としても，同じく $2 / π$ が得られる。

北海道大学 1995年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1995年度
理系数学前期第2問