北海道大学 1995年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$f (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} - sin x$ とする． $f (x) = 0$ となる $x$ は $0 ≦ x ≦ π$ の範囲にはちょうど2個存在し，1個は区間 $[0, \frac{π}{2}]$ に，1個は区間 $[\frac{π}{2}, π]$ にあることを示せ．

出典：北海道大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

$h (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}}$ とおき，前半区間では $h (x)$ が減少， $sin x$ が増加することから差が単調に減ることを使う。後半区間では $x = \frac{π}{2} + u$ と置き， $h$ と $cos u$ の比の増減を調べて，交点が1つだけであることを示す。

解答

$h (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}}$ とおく。 $x ≧ 0$ では $e^{x} + e^{- x}$ は増加するので， $h (x)$ は正で単調に減少する。

まず $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ を考える。この区間で $h (x)$ は減少し， $sin x$ は増加するから $f (x) = h (x) - sin x$ は単調に減少する。また

f (0) = 1 > 0, f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{e ^{π /2} + e ^{- π /2}} - 1 < 0

である。よって $[0, \frac{π}{2}]$ には解がただ1つ存在する。

次に $\frac{π}{2} ≦ x ≦ π$ を考える。 $x = \frac{π}{2} + u (0 ≦ u ≦ \frac{π}{2})$ とおくと， $sin x = cos u$ である。方程式 $f (x) = 0$ は $h (\frac{π}{2} + u) = cos u$ と同値である。そこで

R (u) = \frac{h ( \frac{π}{2} + u )}{cos u} (0 ≦ u < \frac{π}{2})

を考える。 $R (u) = 1$ となる $u$ が，後半区間の解に対応する。 $X = \frac{π}{2} + u$ と書くと，対数微分により $\frac{R ^{'} ( u )}{R ( u )} = tan u - \frac{e ^{X} - e ^{- X}}{e ^{X} + e ^{- X}}$ である。右辺を $Ψ (u)$ とおくと $Ψ^{'} (u) = \frac{1}{c o s ^{2} u} - \frac{4}{( e ^{X} + e ^{- X} ) ^{2}} > 0$ である。実際， $0 ≦ u < \frac{π}{2}$ で $\frac{1}{cos ^{2} u} ≧ 1$ ，一方 $X > 0$ だから $e^{X} + e^{- X} > 2$ であり， $\frac{4}{( e ^{X} + e ^{- X} ) ^{2}} < 1$ である。したがって $Ψ (u)$ は単調に増加する。

さらに

Ψ (0) = - \frac{e ^{π /2} - e ^{- π /2}}{e ^{π /2} + e ^{- π /2}} < 0, Ψ (u) \to + \infty (u \to \frac{π}{2} - 0)

であるから， $R (u)$ ははじめ減少し，ある点から増加に転じる。しかも

R (0) = \frac{2}{e ^{π /2} + e ^{- π /2}} < 1, R (u) \to + \infty (u \to \frac{π}{2} - 0)

である。よって $R (u) = 1$ は $0 < u < \frac{π}{2}$ でただ1回だけ起こる。

以上より， $f (x) = 0$ となる $x$ は $0 ≦ x ≦ π$ にちょうど2個存在し，1個は $[0, \frac{π}{2}]$ に，もう1個は $[\frac{π}{2}, π]$ にある。

北海道大学 1995年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

北海道大学 1995年度
理系数学前期第3問