問題
1次変換は点を点に移す．また点の像をとするとき，は直角で，線分との長さは等しいとする．このとき，次の問に答えよ．
(1) を表す行列をを用いて表せ．
(2) が回転となるとき，を定めよ．
出典：北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
まず と同じ長さで直交する を2通りに絞る。次に， と を列にもつ行列の逆行列を使って，それぞれの に対応する1次変換の行列を求める。回転であるためには，長さを保ち向きも保つ場合だけを残す。
解答
と は直交し，長さはいずれも である。いま である。 は と同じ長さで に直交するので， を直角に回した2通り のいずれかである。
(1)
を
とおくと，， は
と書ける。ここで
である。
まず のとき
である。次に のとき
である。
(2)
回転は長さを変えず，向きも保つ変換である。上の2通りのうち， は の向きと の向きが同じ場合であり，回転になりうる。一方 は向きが反対になるので，回転ではない。
したがって第1の行列について， の長さ と の長さが等しい条件を課せばよい。 であるから すなわち である。よって となる。これらを第1の行列に代入して
を得る。