問題
勝つ確率がであるゲームがある．このゲームを回行って一度も連勝せず回目に負ける確率をとし，回行って一度も連勝せず回目に勝つ確率をとする．
(1) ，を，で表せ．
(2) を示せ．
出典：北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
「連勝しない」という条件では、最後の結果が勝ちか負けかだけを状態として持てばよい。次に負ける場合は直前が勝ちでも負けでもよいが、次に勝つ場合は直前が負けでなければならない。この2つの遷移式を作った後、 と を使って を消去し、指定された漸化式を得る。
解答
(1)
回目に負ける場合を考える。負けを付け加えても連勝は新しく生じないので、 回目が負けで終わっていても勝ちで終わっていてもよい。負ける確率は だから である。
次に、 回目に勝つ場合を考える。連勝を避けるには、 回目は負けで終わっていなければならない。したがって である。
よって である。
(2)
(1)の2つ目の式を に対して使うと である。ここに (1)の1つ目の式を代入すると となる。
また (1)より である。したがって であり、先ほどの式は と書ける。すべて左辺に移すと である。
なお、 や の端の場合も、上の遷移式そのものは確率の意味に沿って成り立つ。