問題
直線， 上にそれぞれ点とを，線分が2次曲線と2点，で交わるようにとる．図形，，を次のように定める．
：，，原点を頂点とし，軸，曲線，線分で囲まれる図形
：弧と線分で囲まれる図形
：，，を頂点とし，曲線，線分で囲まれる図形
いま，の面積がとの面積の和に等しいとする．
(1) 線分は定点を通ることを示せ．
(2) 線分の長さが最小となるとき，，を通る直線の方程式を求めよ．
出典：北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
直線 を と置き、放物線との差の符号を使って面積条件を符号付き面積が0であることに直す。これにより が出て、直線が通る定点が分かる。(2)ではその定点を中心に と置き、直線の傾き で交点の 座標の差を表す。弦の長さの2乗を の式にし、最小化する。
解答
(1)
直線 を とおく。このとき である。 の 座標を と書けば である。
放物線と直線の差を とおく。線分 が放物線と2点 で交わるので、 は2つの交点の間で正、外側で負になる。したがって は、中央の面積 から左右の面積 を引いたものに等しい。条件 より である。
左辺を計算すると
である。ここで だから である。よって となり、 なので を得る。
直線 の における 座標は、両端の 座標の平均だから である。したがって直線 は常に を通る。
(2)
(1)で得た定点を通る直線を、傾き を用いて と書く。ここで とおくと、放物線は となり、直線は となる。
交点 の 座標は すなわち の2根である。この2根を とすると である。
2点 は同じ直線上にあり、 座標の差は 、 座標の差は である。したがって である。
右辺は であり、 だから最小は のときである。よって求める直線は である。