問題
1次変換は軸を軸に移し，格子点を格子点に移すとする．また，原点，，，を頂点とする正方形のによる像の面積は1であるとする．を表す行列をとするとき，の形を決定せよ．ただし，，ともに整数である点を格子点という．
出典：北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
軸が 軸に移るので、行列は上三角形になる。格子点を格子点に移す条件から成分が整数であることを確認し、単位正方形の移った図形の面積が1であることから行列式の絶対値を1にする。対角成分が に絞られるので、 の右上成分が必ず偶数であり、逆に任意の偶数が実現できることまで示す。
解答
(1)
軸上の点は と書ける。これらがすべて 軸上に移るので、行列の第1列の第2成分は である。したがって
とおける。
格子点 、 も格子点に移るから、 はいずれも格子点である。よって である。
単位正方形の移った図形は、ベクトル と で張られる平行四辺形である。その面積は である。これが1に等しいので であり、 は整数だから である。
このとき
である。 は のいずれかなので、 は偶数である。したがって、ある整数 を用いて
と書ける。
逆に、任意の整数 に対して
とすれば条件を満たし、
となる。よって求める形は
である。