北海道大学 1994年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1)

$P(a,b,c)$ は球 $S:x^2+y^2+z^2=1$ 上にあるので $a^2+b^2+c^2=1$ である。与えられた平面は $a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0$ だから、これを整理すると $ax+by+cz-(a^2+b^2+c^2)=0$ である。したがって $ax+by+cz=1$ となる。

点 $(2,1,1)$ とこの平面の距離は $\frac{|2a+b+c-1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ である。分母は1なので $\boxed{d(P)=|2a+b+c-1|}$ である。

(2)

$d(P)=r$ は $|2a+b+c-1|=r$ であるから、$2a+b+c=1+r$ または $2a+b+c=1-r$ である。つまり、球面 $a^2+b^2+c^2=1$ と2枚の平面の交わりを考えればよい。

平面 $2a+b+c=k$ の原点からの距離は $\frac{|k|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{6}}$ である。この平面が単位球面と1つの円で交わるための条件は $\frac{|k|}{\sqrt{6}}<1$ すなわち $|k|<\sqrt{6}$ である。等号のときは1点で接するだけなので、円にはならない。

まず $k=1+r$ については、$r>0$ だから $|1+r|<\sqrt{6}$ は $r<\sqrt{6}-1$ と同値である。次に $k=1-r$ については $|1-r|<\sqrt{6}$ より $1-\sqrt{6}<r<1+\sqrt{6}$ であり、$r>0$ だから $r<1+\sqrt{6}$ である。

求める点全体が1つの円になるには、2枚の平面のうちちょうど1枚だけが球面と円で交わる必要がある。$1-r$ 側が円で交わる条件は $r<1+\sqrt{6}$ であり、$1+r$ 側が円で交わらない条件は $r\geqq \sqrt{6}-1$ である。ただし $r=\sqrt{6}-1$ では $1+r$ 側が球面に接して1点を加えるので、点全体は1つの円だけにならない。したがって $\boxed{\sqrt{6}-1<r<\sqrt{6}+1}$ である。

別解。$L=2a+b+c$ とおくと、単位球面上で $L$ が取り得る値は $-\sqrt{6}\leqq L\leqq \sqrt{6}$ である。これは $(2,1,1)$ 方向への射影の最大・最小である。条件 $d(P)=r$ は $L=1+r$ または $L=1-r$ であり、各水平切り口は範囲の内部なら円、端なら1点、外なら空である。$1+r$ と $1-r$ のうち一方だけが内部に入る条件を読むと、同じく $\sqrt{6}-1<r<\sqrt{6}+1$ を得る。