北海道大学 1994年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

与えられた式 ${\int }_{-x}^{x}f(t)dt=a\sin x+b\cos x$ に $x=0$ を代入すると、左辺は0であり、右辺は $b$ である。よって $b=0$ である。

次に両辺を $x$ で微分する。左辺は上端と下端の両方が動くので $\frac{d}{dx}{\int }_{-x}^{x}f(t)dt=f(x)+f(-x)$ である。右辺は、$b=0$ より $a\cos x$ である。したがって $f(x)+f(-x)=a\cos x$ を得る。ここで $x=0$ とすると $2f(0)=a$ であり、$f(0)=1$ だから $a=2$ である。よって $\boxed{a=2,b=0}$ である。

(2)

(1)より $f(x)+f(-x)=2\cos x$ である。$g(x)=f(x)-\cos x$ とおくと、$g(x)+g(-x)=\{f(x)-\cos x\}+\{f(-x)-\cos (-x)\}$ である。$\cos (-x)=\cos x$ だから $g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-2\cos x=0$ となる。したがって $g(-x)=-g(x)$ であり、$g(x)$ は奇関数である。

(3)

$f(t)=\cos t+g(t)$ と書くと $f(t{)}^2={\cos }^{2}t+2\cos tg(t)+g(t{)}^2$ である。$\cos t$ は偶関数、$g(t)$ は奇関数なので、$\cos tg(t)$ は奇関数である。したがって $x\geqq 0$ のとき ${\int }_{-x}^{x}2\cos tg(t)dt=0$ である。

よって

である。最後の積分は被積分関数が常に0以上なので ${\int }_{-x}^{x}g(t{)}^{2}dt\geqq 0$ である。したがって $\boxed{{\int }_{-x}^{x}f(t{)}^{2}dt\geqq {\int }_{-x}^x{\cos }^{2}tdt}$ が成り立つ。

別解。(3)は、$f$ の偶関数部分が $\cos x$ であると見るとさらに短い。(1)から $f(x)+f(-x)=2\cos x$ なので、$f$ は「偶関数部分 $\cos x$」と「奇関数部分 $g(x)$」の和である。左右対称な区間では偶関数部分と奇関数部分の積の積分は0になり、残る差は ${\int }_{-x}^{x}g(t{)}^{2}dt$ であるから非負である。