北海道大学 1993年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

袋の中に1から25までの自然数を1つずつ書いた25枚のカードが入っている．袋の中からカードを1枚取りだして板（図1）の対応する数字の上におくという操作を3回くり返し，板上に3枚のカードをおく，だたし，1度取りだしたカードはもとに戻さない．このとき，事象 $K_{i}$ $(i = 1, 2, \dots\dots, 25)$ と $A$ を次のように定める．

$K_{i}$ ：最初に取り出したカードに書かれた数が $i$ である．

$A$ ：カードが3枚ともある1つの行または列の上にのっている．

% 図は省略

(1) 事象 $A \cap K_{i}$ の起こる確率 $P (A \cap K_{i})$ と事象 $A$ の起こる確率 $P (A)$ を求めよ．

(2) $A$ が起こったときは最初に取りだしたカードに書かれた数の2乗， $A$ が起こらなかったときは最初に取りだしたカードに書かれた数を値にとる確率変数を $X$ とする． $X$ の期待値 $E (X)$ を求めよ．

出典：北海道大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

最初のカードが $i$ である条件で考えると、残り2枚が同じ行にある場合と同じ列にある場合を数えればよい。5行5列なので、それぞれ $_{4} P_{2}$ 通りで、重なりはない。これにより $P (A ∣ K_{i})$ が $i$ に依存しないことを確認し、(2)は全期待値を $K_{i}$ ごとに分けて和を取る。別解では条件付き期待値 $E (X ∣ K_{i})$ を先に求めて、平均の形で短く計算する。

解答

(1)

最初に取り出したカードが $i$ であるとする。板は5行5列で、 $i$ と同じ行には $i$ 以外に4枚、同じ列にも $i$ 以外に4枚ある。

残り2枚が $i$ と同じ行にあるような取り出し方は、順序を考えて $_{4} P_{2} = 4 \cdot 3 = 12$ 通りである。同じ列にあるような取り出し方も同じく12通りである。2枚が同じ行にも同じ列にも同時に入ることはないので、条件を満たす取り出し方は $12 + 12 = 24$ 通りである。

最初のカードを固定した後、残り2枚の取り出し方は $_{24} P_{2} = 24 \cdot 23$ 通りである。したがって $P (A ∣ K_{i}) = \frac{24}{24 \cdot 23} = \frac{1}{23}$ である。また $P (K_{i}) = \frac{1}{25}$ なので $P (A \cap K_{i}) = P (K_{i}) P (A ∣ K_{i}) = \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{23} = \frac{1}{575}$ である。

これを $i = 1, 2, \dots, 25$ について足せば $P (A) = \sum_{i = 1}^{25} P (A \cap K_{i}) = 25 \cdot \frac{1}{575} = \frac{1}{23}$ である。

(2)

$K_{i}$ が起こり、さらに $A$ が起これば $X = i^{2}$ であり、 $A$ が起こらなければ $X = i$ である。よって $E (X) = \sum_{i = 1}^{25} {i^{2} P (A \cap K_{i}) + i P (A^{c} \cap K_{i})}$ である。

ここで

P (A^{c} \cap K_{i}) = P (K_{i}) - P (A \cap K_{i}) = \frac{1}{25} - \frac{1}{575} = \frac{22}{575}

であるから $E (X) = \frac{1}{575} \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \frac{22}{575} \sum_{i = 1}^{25} i$ となる。

和を計算すると $\sum_{i = 1}^{25} i = \frac{25 \cdot 26}{2} = 325$ であり、 $\sum_{i = 1}^{25} i^{2} = \frac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6} = 5525$ である。したがって

E (X) = \frac{5525 + 22 \cdot 325}{575} = \frac{12675}{575} = \frac{507}{23}

である。

別解。条件付き期待値を直接作ることもできる。 $K_{i}$ のもとでは $P (A ∣ K_{i}) = \frac{1}{23}, P (A^{c} ∣ K_{i}) = \frac{22}{23}$ なので

E (X ∣ K_{i}) = i^{2} \cdot \frac{1}{23} + i \cdot \frac{22}{23} = i + \frac{i ^{2} - i}{23}

である。したがって

E (X) = \frac{1}{25} i = 1 \sum 25 (i + \frac{i ^{2} - i}{23}) = 13 + \frac{1}{23} (\frac{1}{25} i = 1 \sum 25 i^{2} - \frac{1}{25} i = 1 \sum 25 i)

である。 $\frac{1}{25} \sum i = 13$ 、 $\frac{1}{25} \sum i^{2} = 221$ より $E (X) = 13 + \frac{221 - 13}{23} = \frac{507}{23}$ となる。

北海道大学 1993年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1993年度
理系数学前期第5問