問題
平面上を動く点の座標が時刻の関数として
と表されている．ただし，とする．
(1) ある時刻で動点の軌跡は，軸と交わる．このときのの座標をで表せ．
(2) がの範囲を動くとき，の最大値を求めよ．
(3) の最大値を与えるについて，動点のにおける速度ベクトルが軸の正の向きとなす角を求めよ．
出典：北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
軸との交点では なので、平方根の右辺が非負になる条件から を先に押さえる。両辺を2乗して と表し、 を の関数として最大化する。(3)では最大時の を使い、 の速度ベクトル と 軸とのなす角を、傾きの絶対値から求める。
解答
(1)
軸と交わる時刻を とする。このとき であるから すなわち である。左辺は0以上なので より である。また で、右辺を2乗して得られる式から結局 となる。実際、右辺を2乗すると だから であり、 より である。 なので すなわち である。したがって である。
この範囲の を用いれば、求める 座標は であり、 と は で結ばれている。すなわち、 で直接書くなら、 かつ を満たす時刻 に対して である。
(2)
(1)の関係式を用いると である。 なので、 の最大化は の最大化と同じである。
である。 において、臨界点は である。この点は範囲内にあり、導関数の符号はその前で正、その後で負になるので最大を与える。
したがって である。このとき
であり、
である。よって である。
(3)
速度ベクトルは
である。したがって では である。
(2)で最大値を与える を用いる。速度ベクトルは右下向きなので、 軸の正の向きとなす鋭角を とすると である。ここで だから である。よって求める角は である。