問題
，として，2次関数について，次の問に答えよ．
(1) を計算せよ．
(2) ある数について，集合が集合と一致しているとき，を示し，このときのの値を求めよ．
(3) が整数で(2)の条件を満たし，さらに，となっているとき，，およびの値を求めよ．
出典：北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
2次関数の2階差 が常に になることをまず計算する。 なので、中央の値 は両隣の平均より大きい。この性質を集合 に当てはめると、中央に来られるのは最大値 だけである。残り2値の和から を求め、最後は指定された との差分で を順に決める。
解答
(1)
である。したがって
である。
(2)
(1)を に適用すると である。 だから である。
集合 は と一致している。この3つの数のうち、他の2つの平均より大きい値になり得るのは最大値 だけである。実際、 は最小値なので不可能であり、 なら他の2つ の平均が で、厳密な不等号に反する。よって である。
残り2つの値は と であるから である。したがって
より である。
(3)
、 であるから である。一方、 を用いると
である。よって から を得る。
また より である。整理して すなわち である。条件 と が整数であることから であり、これを満たす整数は だけである。したがって である。