問題
平面上の3点を，，とする．1次変換によってが次の(i)，(ii)を満たす正三角形に移されている．
(i) 1つの頂点はである．
(ii) 軸によって面積が2等分されている．
このとき，次の問に答えよ．
(1) 線分と辺の交点は，の中点であることを示せ．ただし，は原点とする．
(2) はをに移すことを示し，のによる像の座標を求めよ．
(3) を表す行列を求めよ．
方針
(1)で を求め、 が の中点であり同時に であることを取り出す。(2)では、 が の中点で、しかも であることを利用する。正三角形で面積を二等分する直線は中線になるので、 軸上の頂点 が であると決め、 を得る。最後は反対側の辺の2頂点を上下に置いて、2通りの行列を計算する。
解答
(1)
辺 上の点は と書ける。直線 は であるから、交点では となり である。したがって である。これは に対応する点なので、 は の中点である。
また だから である。
(2)
は の中点であるから、1次変換の線形性より は と を結ぶ辺の中点である。また なので である。
ここで、移された三角形の頂点を とおく。上で見たように である。
点 は、この正三角形の1つの頂点である。また 軸はその正三角形の面積を二等分している。正三角形で1つの頂点を通り面積を二等分する直線は、その頂点から反対側の辺の中点へ引いた中線である。
もし であったとする。このとき 軸は頂点 から辺 の中点へ向かう中線であるから、 は と書ける。すると である。一方 なので でもある。第2成分を比べると となり、 を導く。これは正三角形がつぶれていないことに反する。したがって は不可能である。 の場合も同様に不可能である。
よって残る可能性は だけである。
よって である。
(3)
は、 と反対側の辺の中点である。したがって正三角形の高さは である。正三角形の一辺を とすると だから であり、反対側の辺の半分の長さは である。よって残り2頂点は である。
まず とする。行列を
とおくと、、 から
である。第1成分について より である。第2成分について より である。したがって
である。
上下を入れ替えた場合、すなわち の場合には、第1成分は同じで第2成分の符号だけが反対になる。よって
である。