北海道大学 1993年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$a > 0$ に対して， $F (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{t ^{2} + a}$ とし， $I (x) = F (3 x) - F (x)$ とおく．

(1) $I (\frac{a}{3})$ を計算せよ．

(2) $I (x)$ が $x = 2$ で最大値をとるように $a$ の値を定めよ．

出典：北海道大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

$I (x) = F (3 x) - F (x)$ をまず $x$ から $3 x$ までの積分として書き直す。(1)は $t = a tan u$ の置換で端点が $π /6$ と $π /3$ になることを利用する。(2)は微分して符号を調べ、正の $x$ における最大点が $x = a /3$ であることを確認し、その点が2になるように $a$ を決める。負の側では積分値が正の最大に届かないことも添える。

解答

(1)

定義より $I (x) = F (3 x) - F (x) = \int_{x}^{3 x} \frac{d t}{t ^{2} + a}$ である。ここで $x = \frac{a}{3}$ とする。置換 $t = a tan u$ を用いると $d t = a sec^{2} u d u, t^{2} + a = a (tan^{2} u + 1) = a sec^{2} u$ であるから $\frac{d t}{t ^{2} + a} = \frac{1}{a} d u$ となる。

端点は $\frac{x}{a} = \frac{1}{3}, \frac{3 x}{a} = 3$ より $u = \frac{π}{6}, u = \frac{π}{3}$ である。したがって

I (\frac{a}{3}) = \frac{1}{a} \int_{π /6}^{π /3} d u = \frac{1}{a} (\frac{π}{3} - \frac{π}{6}) = \frac{π}{6 a}

である。

(2)

$I (x) = F (3 x) - F (x)$ を微分すると $I^{'} (x) = 3 F^{'} (3 x) - F^{'} (x)$ である。 $F^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + a}$ だから

I^{'} (x) = \frac{3}{9 x ^{2} + a} - \frac{1}{x ^{2} + a} = \frac{3 ( x ^{2} + a ) - ( 9 x ^{2} + a )}{( 9 x ^{2} + a ) ( x ^{2} + a )} = \frac{2 a - 6 x ^{2}}{( 9 x ^{2} + a ) ( x ^{2} + a )}

である。分母は常に正なので、符号は $2 a - 6 x^{2} = 2 (a - 3 x^{2})$ で決まる。

したがって $x > 0$ では $0 < x < \frac{a}{3}$ で $I^{'} (x) > 0$ 、 $x > \frac{a}{3}$ で $I^{'} (x) < 0$ である。よって正の $x$ における最大点は $x = \frac{a}{3}$ である。

なお $x < 0$ のときは、区間 $[3 x, x]$ が負の側にあり $I (x) = \int_{x}^{3 x} \frac{d t}{t ^{2} + a} < 0$ となる。正の側では $I (x) > 0$ なので、全体の最大値は上の正の点で生じる。

問題では $x = 2$ で最大値をとるようにしたいから $\frac{a}{3} = 2$ である。よって $a = 12$ である。

北海道大学 1993年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1993年度
理系数学前期第3問