北海道大学 1992年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

(1) 正の実数 $p$ ， $q$ に対して， $\int_{0}^{1} x^{p} (1 - x)^{q} d x ≦ \frac{1}{q + 1}$ を示せ．

(2) 第 $n$ 項 $a_{n}$ が次式であたえられるとき，無限級数の和 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ を求めよ．ただし， $s$ は1より大きい実数とする．

a_{n} = \frac{1}{n ^{s + 1}} \int_{0}^{n} x^{s} (1 - \frac{x}{n})^{n} d x

出典：北海道大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1)は $0 ≦ x ≦ 1$ で $x^{p} ≦ 1$ を用いて積分を上から押さえる。(2)は $x = n t$ と置換して $a_{n} = \int_{0}^{1} t^{s} (1 - t)^{n} d t$ に直す。部分和では有限等比和を積分の中で処理し，極限との差を $\int_{0}^{1} t^{s - 1} (1 - t)^{N + 1} d t$ と書く。ここで(1)を $p = s - 1$ ， $q = N + 1$ に使い，差が0へ近づくことを確認する。

解答

(1)

$0 ≦ x ≦ 1$ で $p > 0$ だから $0 ≦ x^{p} ≦ 1$ である。また $(1 - x)^{q} ≧ 0$ なので $0 ≦ x^{p} (1 - x)^{q} ≦ (1 - x)^{q}$ である。したがって $\int_{0}^{1} x^{p} (1 - x)^{q} d x ≦ \int_{0}^{1} (1 - x)^{q} d x$ である。右辺は

\int_{0}^{1} (1 - x)^{q} d x = [- \frac{( 1 - x ) ^{q + 1}}{q + 1}]_{0}^{1} = \frac{1}{q + 1}

だから $\int_{0}^{1} x^{p} (1 - x)^{q} d x ≦ \frac{1}{q + 1}$ が示された。

(2)

定義式で $x = n t$ とおくと， $d x = n d t$ であり， $x = 0$ から $x = n$ は $t = 0$ から $t = 1$ に対応する。したがって

a_{n} = \frac{1}{n ^{s + 1}} \int_{0}^{n} x^{s} (1 - \frac{x}{n})^{n} d x = \int_{0}^{1} t^{s} (1 - t)^{n} d t

である。

部分和を $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ とおく。有限和なので積分と和を入れ替えて $S_{N} = \int_{0}^{1} t^{s} \sum_{n = 1}^{N} (1 - t)^{n} d t$ である。ここで $\sum_{n = 1}^{N} (1 - t)^{n} = \frac{( 1 - t ) { 1 - ( 1 - t ) ^{N} }}{t}$ だから $S_{N} = \int_{0}^{1} t^{s - 1} (1 - t) {1 - (1 - t)^{N}} d t$ である。

候補となる極限値は $\int_{0}^{1} t^{s - 1} (1 - t) d t$ である。実際，この積分との差は $\int_{0}^{1} t^{s - 1} (1 - t)^{N + 1} d t$ である。 $s > 1$ なので $s - 1 > 0$ であり，(1)を $p = s - 1$ ， $q = N + 1$ に用いると $0 ≦ \int_{0}^{1} t^{s - 1} (1 - t)^{N + 1} d t ≦ \frac{1}{N + 2}$ である。これは $N \to \infty$ で0に近づく。したがって $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \int_{0}^{1} t^{s - 1} (1 - t) d t$ である。

最後に

\int_{0}^{1} t^{s - 1} (1 - t) d t = \int_{0}^{1} (t^{s - 1} - t^{s}) d t = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1} = \frac{1}{s ( s + 1 )}

を得る。

北海道大学 1992年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1992年度
理系数学前期第5問