問題
次の条件を満たす定数の中で最小なものを求めよ．ただし，対数は自然対数であり，その底の値はである．
を満たすすべての実数，に対して不等式が成り立つ．
出典：北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
とおき， での増減を調べる。条件は が で常に成り立つことなので，固定した に対して で が最大になる場合を考える。 では最大は ， では最大は である。最後に について比の最大を取る。
解答
関数 を考える。 で である。したがって は で増加し， で減少する。特に で最大値 をとる。
条件は，すべての について が成り立つことである。
まず の場合， では は減少しているから である。したがってこの範囲では で十分である。
次に の場合， における の最大値は のときの である。よって必要な条件は である。すなわち である。 では が増加するので， は のとき最大となる。したがって最小の は である。