問題
空間で4点，，，を頂点とする四面体（表面および内部）をとする．の点から平面へ垂線を引き，その平面との交点をとする．がを動くとき，の動く範囲の面積を求めよ．
出典：北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
平面 への垂線方向は である。点 からこの方向へ動いて平面に乗る点 を式で表す。四面体は4頂点の凸な立体なので，動く範囲は4頂点の移った点の凸な範囲になる。実際に4頂点を移し， が の重心であることを確認すれば，範囲は正三角形 である。最後に辺の長さから面積を求める。
解答
平面 の法線方向は である。点 からこの方向に下ろした点を とすると と書ける。 が平面 上にあるので である。したがって であり， である。
4頂点を移すと である。また である。
点 が四面体 の内部および表面を動くとき， はこれら4点の凸な範囲を動く。ここで であるから， は三角形 の内部にある。したがって動く範囲は三角形 である。
辺の長さを求めると である。いずれも長さは である。よって は1辺 の正三角形であり，面積は である。