問題
行列によって表される1次変換をとする．
(1) 円上の点のによる像をとする．とを通る直線が原点を通るとき，点を求めよ．
(2) 正の整数に対して，行列で表される1次変換による点の像を求めよ．
出典：北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
(1)は ， と置き，原点・・ が同一直線上にある条件を2次式にする。単位円との交点を求めれば が出る。(2)は を，行列 をかけると単純に定数倍される2つの方向ベクトルの和として分解する。各方向の倍率を 回掛け，最後に成分を戻す。
解答
(1)
とする。すると である。原点，， が同一直線上にあるためには，2つのベクトル ， の向きが平行であればよい。したがって である。整理すると となり， である。
まず ，すなわち の場合，単位円上にあるので である。よって
である。
次に ，すなわち の場合，単位円上にあるので である。したがって
である。
以上が求める点である。
(2)
次の2つのベクトルを用いる。
直接計算すると である。また
である。したがって， を 回かけると
となる。成分で書けば
である。よって求める点は である。