問題
(1) 定直線が で表されるすべての放物線と定点で接するとき，およびを求めよ．
(2) (1)の放物線上の点 における接線がと交わる点をとする．ベクトルとのなす角がであり，さらにこの放物線と2つの線分，で囲まれる部分の面積がであるとする．このときの値を求めよ．
出典：北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
(1)では放物線 の における接線を作り， によらず同じ接線になるには しかないことを使う。(2)では の 座標を とおき，接線と の交点 を求める。角度条件はベクトル ， の内積と長さから を得る。面積は に注意し，曲線と2本の接線の差を から0まで分けて積分する。
解答
(1)
放物線を とする。 における接線の傾きは であり，接点の座標は である。接線の式は すなわち である。
これがすべての について同じ直線になるには，係数 と がどちらも によらない必要がある。したがって である。このとき接点は であり，接線は である。
(2)
の 座標を とおく。 なので であり， である。 における接線は である。この接線と の交点を とすると より である。よって である。
ここで
である。 とおくと， であり，
である。なす角が なので である。これを解く。両辺を整理して となる。両辺を2乗すると であるから を得る。すなわち である。特に だから である。
次に面積を計算する。 なので，閉じた図形は にある。 では下側の直線は における接線であり，差は である。 では下側の直線は であり，差は である。したがって面積 は である。計算すると となる。
ここで ， だから である。これが に等しいので より を得る。 だから である。